(30 pontos ) Um conjunto cilindro-pistão contém 200 g de água a 50 kPa e apresenta volume específico de 2,30 \mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{~kg}^{-1}. O conjunto é aquecido segundo um processo isobárico até alcançar 150^{\circ} \mathrm{C}. Determine o trabalho realizado e o calor transferido durante a mudança de estado.
Passo 1
O enunciado dá um conjunto cilindro-pistão contendo água com as seguintes informações iniciais:
O sistema é aquecido isobaricamente até que a temperatura alcance 150^\circ\mathrm{C}.
O que o problema pede:
Determinar o trabalho realizado durante a mudança de estado.
Determinar o calor transferido durante a mudança de estado.
Informações relevantes que vamos precisar (lidas em tabela de vapor d’água à pressão \;P=50\\ \text{kPa}, estou explicitando os valores que usei da tabela):
Obs.: eu peguei explicitamente esses valores na tabela de vapor saturado/superaquecido para P=50\\ \text{kPa}. Como T_\text{sat}=81{,}33^\circ\mathrm{C}<150^\circ\mathrm{C}, o estado final (150^\circ\mathrm{C} a 50\\ \text{kPa}) será vapor superaquecido.
A resolução (cálculos) começa no Passo 2.
Passo 2
Primeiro identificamos o estado inicial: com P=50\\ \text{kPa} e v_1=2{,}30\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1}. Para saber se é líquido comprimido, mistura saturada ou vapor superaquecido, comparamos v_1 com v_f e v_g à mesma pressão (valores lidos na tabela no Passo 1).
Estado final: P=50\\ \text{kPa} e T_2=150^\circ\mathrm{C}. Como T_2>T_\text{sat}=81{,}33^\circ\mathrm{C}, o fluido final é vapor superaquecido. Precisamos da entalpia específica h_2 no estado (P=50\\ \text{kPa},\;T=150^\circ\mathrm{C}).
Idealmente usaríamos a tabela de vapor superaquecido para ler h_2 diretamente. Quando a tabela não tiver exatamente o par pedido, podemos aproximar o acréscimo de entalpia acima do valor saturado por:
onde c_{p,\text{vapor}} é o calor específico do vapor (valor aproximado para vapor d’água na faixa é de cerca de 2{,}0\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}). Usando esse procedimento (ou lendo a tabela de superaquecido) obtemos, para o caso:
(Observe que esta é a leitura/estimativa feita a partir da tabela/aproximação; se você tiver a tabela de superaquecido exata, substitua h_2 pelo valor da tabela.)
Passo 6
Agora aplicamos a primeira lei da termodinâmica para sistema fechado com trabalho de fronteira (cilindro-pistão, processo quasi-estático):
Q - W = \Delta U = m(u_2-u_1).
Usando entalpia, e sabendo que h=u+Pv e que o trabalho de fronteira W=\int P\,dV = P(V_2-V_1)=mP(v_2-v_1), podemos escrever:
Q = m(h_2-h_1).
Portanto, o calor transferido é simplesmente a massa vezes a variação de entalpia específica.
Q = m\,\Delta h = 0{,}200\cdot720{,}1 = 144{,}02\\ \mathrm{kJ}.
Passo 7
Agora calculamos o trabalho realizado pelo sistema (trabalho de expansão do pistão). Para processo isobárico quasi-estático:
W = \int_{V_1}^{V_2} P\,dV = P(V_2-V_1) = mP(v_2-v_1).
Para isso precisamos do volume específico final v_2 no estado superaquecido. Se não tivermos v_2 diretamente na tabela, podemos aproximar o vapor por gás ideal para obter v_2:
v_2 \approx \frac{R\,T_2}{P},
onde R é a constante específica do vapor d’água: R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}. Atenção nas unidades: usaremos P em \mathrm{kPa} e T em K; a relação Pv=RT dá v em \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1} quando R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e P em \mathrm{kPa} (pois 1\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3=1\\ \mathrm{kJ}).
Agora \Delta v = v_2-v_1 = 3{,}9047-2{,}30 = 1{,}6047\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1}.
O trabalho total realizado:
W = m P \Delta v = 0{,}200\cdot50\cdot1{,}6047 = 16{,}047\\ \mathrm{kJ}.
(Usamos P em \mathrm{kPa} e v em \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}; como 1\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3 = 1\\ \mathrm{kJ}, a unidade resultante é kJ.)
Passo 8
Verificação energética rápida: pelo balanço Q - W = m(u_2-u_1). Como h=u+Pv, \Delta u = \Delta h - P\Delta v. Podemos checar numericamente:
\Delta h = 720{,}1\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1},
P\Delta v = 50\cdot1{,}6047 = 80{,}235\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}.
\Delta u = 720{,}1 - 80{,}235 = 639{,}865\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}.
Multiplicando por m=0{,}2 dá \Delta U \approx 127{,}97\\ \mathrm{kJ}.
E Q-W = 144{,}02 - 16{,}047 = 127{,}973\\ \mathrm{kJ}, compatível com \Delta U (diferença numérica pequena por aproximações usadas). Bom sinal.