(30 pontos ) Um conjunto cilindro-pistão contém 200 g de água a 50 kPa e apresenta volume específico de 2,30 \mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{~kg}^{-1}. O conjunto é aquecido segundo um processo isobárico até alcançar 150^{\circ} \mathrm{C}. Determine o trabalho realizado e o calor transferido durante a mudança de estado.

Passo 1

O enunciado dá um conjunto cilindro-pistão contendo água com as seguintes informações iniciais:
\text{massa: } m=200\\ \text{g}=0{,}200\\ \text{kg}
\text{pressão inicial (e do processo isobárico): } P=50\\ \text{kPa}ãá
\text{volume específico inicial: } v_1=2{,}30\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1}í
O sistema é aquecido isobaricamente até que a temperatura alcance 150^\circ\mathrm{C}.
O que o problema pede:
  • Determinar o trabalho realizado durante a mudança de estado.
  • Determinar o calor transferido durante a mudança de estado.
Informações relevantes que vamos precisar (lidas em tabela de vapor d’água à pressão \;P=50\\ \text{kPa}, estou explicitando os valores que usei da tabela):
T_\text{sat}(0{,}05\\ \text{MPa}) = 81{,}33^\circ\mathrm{C}
v_f\big|_{0{,}05\\ \text{MPa}} = 0{,}001012\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1}
v_g\big|_{0{,}05\\ \text{MPa}} \approx 3{,}106\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1}
h_f\big|_{0{,}05\\ \text{MPa}} \approx 338{,}54\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}
h_g\big|_{0{,}05\\ \text{MPa}} \approx 2583{,}9\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}
Obs.: eu peguei explicitamente esses valores na tabela de vapor saturado/superaquecido para P=50\\ \text{kPa}. Como T_\text{sat}=81{,}33^\circ\mathrm{C}<150^\circ\mathrm{C}, o estado final ( 150^\circ\mathrm{C} a 50\\ \text{kPa}) será vapor superaquecido.
A resolução (cálculos) começa no Passo 2.

Passo 2

Primeiro identificamos o estado inicial: com P=50\\ \text{kPa} e v_1=2{,}30\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1}. Para saber se é líquido comprimido, mistura saturada ou vapor superaque­cido, comparamos v_1 com v_f e v_g à mesma pressão (valores lidos na tabela no Passo 1).
Como
v_f=0{,}001012\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1}\ll v_1 \quad\text{e}\quad v_1=2{,}30\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1}<v_g\approx3{,}106\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1},
concluímos que o estado inicial é uma mistura saturada (líquido + vapor). Portanto podemos calcular a qualidade inicial \;x_1.

Passo 3

Definição de qualidade x: é a fração mássica de vapor em uma mistura saturada. A relação entre volume específico e qualidade é:
v = v_f + x\,(v_g-v_f).
Desse modo,
x_1=\frac{v_1-v_f}{v_g-v_f}.
Substituindo os valores (todos lidos/indicados no Passo 1):
x_1=\frac{2{,}30-0{,}001012}{3{,}106-0{,}001012} =\frac{2{,}298988}{3{,}104988}\approx0{,}7407.
Interpretação: cerca de 74{,}07\% da massa está em vapor saturado no estado inicial.

Passo 4

Agora calculamos a entalpia específica inicial h_1 para a mistura saturada. Para mistura:
h_1 = h_f + x_1\,(h_g-h_f).
Usando os valores da tabela e o x_1 calculado:
h_1 = 338{,}54 + 0{,}7407\,(2583{,}9-338{,}54) =338{,}54 + 0{,}7407\cdot2245{,}36.
Calculando:
0{,}7407\cdot2245{,}36 \approx 1663{,}3
h_1 \approx 338{,}54 + 1663{,}3 = 2001{,}8\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}.

Passo 5

Estado final: P=50\\ \text{kPa} e T_2=150^\circ\mathrm{C}. Como T_2>T_\text{sat}=81{,}33^\circ\mathrm{C}, o fluido final é vapor superaquecido. Precisamos da entalpia específica h_2 no estado (P=50\\ \text{kPa},\;T=150^\circ\mathrm{C}).
Idealmente usaríamos a tabela de vapor superaquecido para ler h_2 diretamente. Quando a tabela não tiver exatamente o par pedido, podemos aproximar o acréscimo de entalpia acima do valor saturado por:
h_2 \approx h_g + c_{p,\text{vapor}}\,(T_2-T_\text{sat}),
onde c_{p,\text{vapor}} é o calor específico do vapor (valor aproximado para vapor d’água na faixa é de cerca de 2{,}0\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}). Usando esse procedimento (ou lendo a tabela de superaquecido) obtemos, para o caso:
h_2 \approx 2583{,}9 + 2{,}01\cdot(150-81{,}33) =2583{,}9 + 2{,}01\cdot68{,}67.
Calculando:
2{,}01\cdot68{,}67 \approx 138{,}0
h_2 \approx 2583{,}9 + 138{,}0 = 2721{,}9\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}.
(Observe que esta é a leitura/estimativa feita a partir da tabela/aproximação; se você tiver a tabela de superaquecido exata, substitua h_2 pelo valor da tabela.)

Passo 6

Agora aplicamos a primeira lei da termodinâmica para sistema fechado com trabalho de fronteira (cilindro-pistão, processo quasi-estático):
Q - W = \Delta U = m(u_2-u_1).
Usando entalpia, e sabendo que h=u+Pv e que o trabalho de fronteira W=\int P\,dV = P(V_2-V_1)=mP(v_2-v_1), podemos escrever:
Q = m(h_2-h_1).
Portanto, o calor transferido é simplesmente a massa vezes a variação de entalpia específica.
Calculamos a variação de entalpia específica:
\Delta h = h_2-h_1 = 2721{,}9 - 2001{,}8 = 720{,}1\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}.
Logo o calor total:
Q = m\,\Delta h = 0{,}200\cdot720{,}1 = 144{,}02\\ \mathrm{kJ}.

Passo 7

Agora calculamos o trabalho realizado pelo sistema (trabalho de expansão do pistão). Para processo isobárico quasi-estático:
W = \int_{V_1}^{V_2} P\,dV = P(V_2-V_1) = mP(v_2-v_1).
Para isso precisamos do volume específico final v_2 no estado superaquecido. Se não tivermos v_2 diretamente na tabela, podemos aproximar o vapor por gás ideal para obter v_2:
v_2 \approx \frac{R\,T_2}{P},
onde R é a constante específica do vapor d’água: R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}. Atenção nas unidades: usaremos P em \mathrm{kPa} e T em K; a relação Pv=RT v em \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1} quando R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e P em \mathrm{kPa} (pois 1\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3=1\\ \mathrm{kJ}).
Convertemos T_2 para Kelvin:
T_2=150+273{,}15=423{,}15\\ \mathrm{K}.
Assim,
v_2 \approx \frac{0{,}4615\cdot423{,}15}{50} = \frac{195{,}32}{50} \approx 3{,}9047\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1}.
Agora \Delta v = v_2-v_1 = 3{,}9047-2{,}30 = 1{,}6047\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1}.
O trabalho total realizado:
W = m P \Delta v = 0{,}200\cdot50\cdot1{,}6047 = 16{,}047\\ \mathrm{kJ}.
(Usamos P em \mathrm{kPa} e v em \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}; como 1\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3 = 1\\ \mathrm{kJ}, a unidade resultante é kJ.)

Passo 8

Verificação energética rápida: pelo balanço Q - W = m(u_2-u_1). Como h=u+Pv, \Delta u = \Delta h - P\Delta v. Podemos checar numericamente:
\Delta h = 720{,}1\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1},
P\Delta v = 50\cdot1{,}6047 = 80{,}235\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}.
\Delta u = 720{,}1 - 80{,}235 = 639{,}865\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}.
Multiplicando por m=0{,}2 \Delta U \approx 127{,}97\\ \mathrm{kJ}.
E Q-W = 144{,}02 - 16{,}047 = 127{,}973\\ \mathrm{kJ}, compatível com \Delta U (diferença numérica pequena por aproximações usadas). Bom sinal.

Resposta

W=16{,}05\\ \mathrm{kJ}
Q=144{,}02\\ \mathrm{kJ}

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