Supondo que a lei de Raoult seja válida, prepare um diagrama P - x - y para uma temperatura de 90^{\circ} \mathrm{C} e um diagrama t-x-y a uma pressão de 90 kPa para um dos seguintes sistemas:
1-Clorobutano(1)/clorobenzeno(2).

Passo 1

O enunciado pede que eu “prepare” dois diagramas para o sistema clorobutano(1) / clorobenzeno(2) assumindo validade da lei de Raoult:
  • Um diagrama P x y à temperatura fixa de 90^\circ\mathrm{C}.
  • Um diagrama t x y (temperatura vs composição) à pressão fixa de 90\\ \mathrm{kPa}.
Informações dadas:
  • Sistema binário: componente 1 = clorobutano, componente 2 = clorobenzeno.
  • Condição 1: temperatura fixa T=90^\circ\mathrm{C} (para P x y).
  • Condição 2: pressão fixa P=90\\ \mathrm{kPa} (para t x y).
  • Suposição: a solução é ideal e a lei de Raoult é válida.
O que se pede explicitamente:
  • Construir (traçar) os diagramas mencionados para esse sistema nas condições dadas.
Observação importante (necessária antes de qualquer cálculo numérico):
  • Para traçar numericamente os diagramas precisamos das pressões de vapor puras dos componentes como função de T, isto é, P_1^*(T) e P_2^*(T), ou equivalentemente das constantes de Antoine de cada componente para o intervalo de temperatura de interesse. Essas informações não foram fornecidas no enunciado. Sem P_i^*(T) não há como calcular valores numéricos das curvas e, portanto, não é possível traçar os diagramas numéricos pedidos.

Passo 2

Conceito central — lei de Raoult (aula curta e informal):
  • A lei de Raoult diz que, para uma mistura ideal, a pressão parcial do componente i na fase de vapor é igual à fração molar do componente i na fase líquida multiplicada pela pressão de vapor do componente puro à mesma temperatura:
p_i = x_i\,P_i^*(T).
Aqui:
  • p_i é a pressão parcial de i no vapor (unidade: kPa, mmHg, etc. — cuide da unidade),
  • x_i é a fração molar do componente i na fase líquida (adimensional, 0\le x_i\le1),
  • P_i^*(T) é a pressão de vapor do componente puro i à temperatura T.
  • A pressão total do vapor sobre a solução é a soma das pressões parciais:
P = p_1 + p_2 = x_1 P_1^*(T) + x_2 P_2^*(T),
com x_2 = 1-x_1 num sistema binário.
  • A fração molar do componente i na fase vapor y_i é
y_i = \frac{p_i}{P} = \frac{x_i P_i^*(T)}{x_1 P_1^*(T) + x_2 P_2^*(T)}.
Essas fórmulas são o mecanismo para gerar os diagramas pedidos.

Passo 3

Como obter P_i^*(T) na prática (Antoine — como usar e o que significa):
  • A forma mais comum de calcular P_i^*(T) a partir de dados conhecidos é a equação de Antoine:
\log_{10} P_i^*(T) = A_i - \frac{B_i}{T + C_i},
onde:
  • A_i,B_i,C_i são constantes de Antoine para o componente i (obtidas em tabelas/handbooks),
  • T é a temperatura absoluta na escala Celsius ou Kelvin conforme as constantes (atenção: tabelas especificam em qual unidade usar),
  • P_i^* sai na unidade especificada (ex.: mmHg). Se precisar em kPa, converta: 1\\ \mathrm{mmHg}\approx0{,}133322\\ \mathrm{kPa}.
Importante: as constantes de Antoine têm intervalos de validade em temperatura — use constantes válidas para 90^\circ\mathrm{C} (ou para as faixas de temperatura onde você vai procurar pontos de bolha/rosário).
Passos práticos para obter P_i^*(T):
  1. Pegue A_i,B_i,C_i para clorobutano e para clorobenzeno em uma fonte (NIST, handbook químico, tabela de Antoine).
  2. Calcule P_i^*(90^\circ\mathrm{C}) com a equação de Antoine e converta unidades para kPa se necessário.
Sem esses P_i^* não dá para produzir números.

Passo 4

Como traçar o diagrama P x y à temperatura fixa T=90^\circ\mathrm{C} — procedimento passo a passo
  1. Para cada valor x_1 em uma malha (por exemplo x_1 = 0, 0{,}05, 0{,}10, \ldots, 1):
    • calcule x_2 = 1-x_1.
    • calcule P_i^*(T=90^\circ\mathrm{C}) usando Antoine (veja Passo 3).
    • calcule a pressão total usando P(x_1) = x_1 P_1^*(90^\circ\mathrm{C}) + x_2 P_2^*(90^\circ\mathrm{C}).
    • calcule a composição do vapor y_1(x_1) = \frac{x_1 P_1^*(90^\circ\mathrm{C})}{P(x_1)},\qquad y_2=1-y_1.
  2. Para o diagrama P x y:
    • plote a curva líquida: pontos (x_1, P(x_1)). Observação teórica: sob Raoult, P como função de x_1 é uma combinação linear entre P_1^* e P_2^*, portanto \emph{a curva líquida é uma reta} entre P_1^*(T) e P_2^*(T).
    • plote a curva vapor: para cada x_1 calcule y_1 e plote o ponto (y_1, P(x_1)). A curva vapor será geralmente curva (não linear) porque y_1 depende racionalmente de x_1.
  3. Interpretação prática:
    • os extremos x_1=1 e x_1=0 dão as pressões de vapor dos componentes puros a 90^\circ\mathrm{C}: P(1)=P_1^*(90^\circ\mathrm{C}) e P(0)=P_2^*(90^\circ\mathrm{C}).
    • se P_1^*(90^\circ\mathrm{C})>P_2^*(90^\circ\mathrm{C}), então o componente 1 é mais volátil a essa temperatura; o eixo P é crescente para cima como de costume.
Exemplo simbólico (para ver o uso das fórmulas, sem números reais):
  • seja x_1=0{,}5. Então
P(0{,}5)=0{,}5 P_1^* + 0{,}5 P_2^* = \frac{P_1^*+P_2^*}{2},
y_1(0{,}5)=\frac{0{,}5 P_1^*}{0{,}5 P_1^* + 0{,}5 P_2^*} = \frac{P_1^*}{P_1^*+P_2^*}.
Isto mostra (sem números) que a curva vapor “puxa” para o componente mais volátil.

Passo 5

Como traçar o diagrama t x y (curvas de bolha e de orvalho) à pressão fixa P=90\\ \mathrm{kPa}
Conceito:
  • Curva de bolha (bubble point): para uma dada composição líquida x_1, a temperatura de bolha T_B é a temperatura em que a primeira bolha de vapor aparece, satisfazendo
x_1 P_1^*(T_B) + x_2 P_2^*(T_B) = P_{\text{fixo}}.
  • Curva de orvalho (dew point): para uma dada composição de vapor y_1, a temperatura de orvalho T_D é a temperatura em que a primeira gota de líquido aparece, satisfazendo
y_1 \frac{P_1^*(T_D)}{P_{\text{fixo}}} + y_2 \frac{P_2^*(T_D)}{P_{\text{fixo}}} = 1,
ou, mais explicitamente,
y_1 P_1^*(T_D) + y_2 P_2^*(T_D) = P_{\text{fixo}}.
Na prática as duas equações são iguais em forma: para bolha a incógnita é T dado x; para orvalho a incógnita é T dado y.
Procedimento numérico (passo a passo):
  1. Obtenha as constantes de Antoine A_i,B_i,C_i para cada componente — veja Passo 3.
  2. Para uma malha de x_1 entre 0 e 1:
    • resolva numericamente a equação f(T) = x_1 P_1^*(T) + (1-x_1) P_2^*(T) - P_{\text{fixo}} = 0para T=T_B(x_1).
    • Use método da bisseção ou Newton-Raphson. Sugestão prática: bisseção entre T_{\min} e T_{\max} com T_{\min} menor que o menor ponto de ebulição dos puros à P e T_{\max} maior que o maior — ou simplesmente entre 0°C e 250°C se as constantes de Antoine forem válidas nesse intervalo (mas prefira intervalos seguros conforme as constantes).
  3. Para uma malha de y_1 entre 0 e 1:
    • resolva g(T) = y_1 P_1^*(T) + (1-y_1) P_2^*(T) - P_{\text{fixo}} = 0para T=T_D(y_1).
  4. No gráfico t x y:
    • plote a curva de bolha: pontos (x_1, T_B(x_1)).
    • plote a curva de orvalho: pontos (y_1, T_D(y_1)).
  5. Observação: em soluções ideais sem interações especiais (Raoult válida) normalmente não há azeótropos; as curvas bolha e orvalho não se tangenciam formando azeótropos, elas se encontram apenas nos extremos (composição pura) — mas isso depende dos P_i^*(T). Se houvesse um azeótropo, as equações acima levariam a um ponto onde bolha e orvalho coincidem interiormente.
Dica de algoritmo (bisseção) para resolver f(T)=0:
  • escolha T_{\ell} e T_u tais que f(T_{\ell})\cdot f(T_u)<0.
  • repita: T_m=(T_{\ell}+T_u)/2, avalie f(T_m); se f(T_{\ell})f(T_m)<0 então T_u=T_m senão T_{\ell}=T_m.
  • pare quando |T_u-T_{\ell}|<\varepsilon (por exemplo \varepsilon=10^{-3}\,^\circ\mathrm{C}).

Passo 6

Formas de apresentação final e detalhes de plotagem (o que eu iria desenhar)
  • Para P x y a 90^\circ\mathrm{C}:
    • eixo horizontal: composição x ou y (coloque ambos: escala de baixo para x e escala superior para y ou sobreponha curvas),
    • eixo vertical: pressão P em kPa,
    • uma linha reta ligando (x_1=0,P_2^*) e (x_1=1,P_1^*) = curva líquida (pois P(x) é linear em x),
    • curva vapor obtida plotando P(x) vs y(x).
  • Para t x y a P=90\\ \mathrm{kPa}:
    • eixo horizontal: composição (liquida x e vapor y, como acima),
    • eixo vertical: temperatura T em ^{\circ}\mathrm{C},
    • curva de bolha T_B(x) e curva de orvalho T_D(y) traçadas conforme o Passo 5.

Passo 7

Por que não posso entregar os diagramas numéricos prontos aqui (resumo e conclusão prática)
  • Para traçar numericamente é indispensável conhecer P_1^*(T) e P_2^*(T) (ou as constantes de Antoine) para clorobutano e clorobenzeno. Estas constantes/valores não foram fornecidos no enunciado.
  • Sem esses dados não há valores numéricos para P(x), nem para y(x), nem para T_B(x) ou T_D(y). Portanto, não é possível gerar os diagramas numéricos solicitados.
O que eu fiz em compensação (útil para a sua prova):
  • Dei todas as fórmulas necessárias, expliquei passo a passo como calcular cada curva, indiquei métodos numéricos (bisseção/Newton) e expliquei como montar a malha e o gráfico. Com as constantes de Antoine corretas você consegue, em 10–20 minutos com uma planilha ou um pequeno script, gerar ambos os diagramas.

Passo 8

Instruções práticas — o que você deve fazer agora (passo-a-passo para executar rápido em Excel/Matlab/Python)
  1. Busque as constantes de Antoine para:
    • clorobutano (1‑clorobutano) — A_1,B_1,C_1,
    • clorobenzeno — A_2,B_2,C_2.
      (Fontes: NIST WebBook, CRC Handbook.)
  2. No Excel ou Python:
    • implemente Antoine para retornar P_i^*(T) nas unidades desejadas,
    • para P x y a T=90^\circ\mathrm{C}: construa uma coluna de x_1 e calcule P(x_1) e y_1(x_1) conforme Passo 4; faça gráfico com duas curvas (líquido e vapor).
    • para t x y a P=90\\ \mathrm{kPa}: para cada x_1 use bisseção para achar T_B(x_1); para cada y_1 ache T_D(y_1); plote as duas curvas.
  3. Se quiser, me diga depois os A,B,C e eu faço os cálculos numéricos para você (mas não vou pedir dados — estou só te dizendo o que pode ser feito).

Resposta

Não é possível traçar numericamente os diagramas pedidos sem as pressões de vapor puras P_1^*(T) e P_2^*(T) ou as constantes de Antoine para clorobutano e clorobenzeno; forneci acima todas as fórmulas, método passo a passo e algoritmo numérico necessários para construir o P x y a 90^\circ\mathrm{C} e o t x y a 90\\ \mathrm{kPa} assim que você obtiver essas constantes.

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