( 30 pontos) Um conjunto cilindro-pistão apresenta 45 g de água a 35^{\circ} \mathrm{C} e título de 90 \% . \mathrm{O} sistema é, então, submetido a um processo de descompressão isotérmica até alcançar um volume de 1,2 \mathrm{~m}^{3}. Determine o trabalho realizado durante este processo.

Passo 1

O enunciado dá um conjunto cilindro‑pistão contendo 45\\ \mathrm{g} de água a 35^{\circ}\mathrm{C} com título (qualidade) 90\%. O sistema sofre uma descompressão isotérmica até o volume total 1,2\\ \mathrm{m}^3. A pergunta é: determinar o trabalho realizado durante esse processo. Informações relevantes fornecidas:
m = 45\\ \mathrm{g} = 0,045\\ \mathrm{kg},
T = 35^{\circ}\mathrm{C},
x = 0,90,
V_2 = 1{,}2\\ \mathrm{m}^3.

Passo 2

Entendimento físico e fórmula chave (explicadinha): em um processo isotérmico em que o fluido permanece em equilíbrio de duas fases (liquido + vapor) a T constante, a pressão do sistema é a pressão de saturação àquela temperatura, p_{\mathrm{sat}}(T). Para um sistema fechado que troca apenas trabalho de fronteira com o ambiente, o trabalho de fronteira é
W = \int_{V_1}^{V_2} p\,dV.
Se durante o processo a pressão é constante e igual a p_{\mathrm{sat}}, essa integral simplifica para a forma conhecida
W = p_{\mathrm{sat}}\,(V_2 - V_1).
Aqui V_1 é o volume inicial do conteúdo no cilindro e V_2 é o volume final dado. Então precisamos:
  1. obter p_{\mathrm{sat}} a 35^{\circ}\mathrm{C} (valor da tabela de vapor saturado), e
  2. calcular V_1 = m\,v_1, onde v_1 é o volume específico inicial da mistura saturada, dado por
v_1 = v_f + x\,(v_g - v_f) = v_f + x\,v_{fg}.
Explico cada símbolo: v_f é o volume específico do líquido saturado (m³/kg), v_g é o volume específico do vapor saturado (m³/kg) e v_{fg}=v_g-v_f. O título x é a fração de massa em vapor.

Passo 3

Pegar propriedades: precisamos de p_{\mathrm{sat}}(35^{\circ}\mathrm{C}), v_f(35^{\circ}\mathrm{C}) e v_g(35^{\circ}\mathrm{C}). Esses valores vêm das tabelas de vapor saturado (steam tables). Vou usar:
p_{\mathrm{sat}}(35^{\circ}\mathrm{C}) = 5{,}628\\ \mathrm{kPa}
(valor de tabela). O volume específico do líquido saturado varia muito pouco com T; uso
v_f(35^{\circ}\mathrm{C}) \approx 0{,}001003\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Para v_g (vapor saturado) podemos obter diretamente da tabela ou, como alternativa muito boa quando a pressão é baixa, aproximar o vapor como gás ideal:
v_g \approx \frac{R\,T}{p_{\mathrm{sat}}},
onde R é a constante específica do vapor d’água R = 0{,}4615\\ \mathrm{kPa\cdot m}^3/(\mathrm{kg\cdot K}) e T em Kelvin. Vou usar essa aproximação (válida para vapor com baixa pressão) e mostrar o cálculo; isso dá uma boa precisão aqui.

Passo 4

Conversões e cálculo de v_g pela aproximação do gás ideal:
T = 35^{\circ}\mathrm{C} = 308{,}15\\ \mathrm{K},
v_g \approx \frac{R\,T}{p_{\mathrm{sat}}} = \frac{0{,}4615\cdot 308{,}15}{5{,}628} \\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Faço a conta passo a passo:
0{,}4615\cdot 308{,}15 = 142{,}211225
e
v_g \approx \frac{142{,}211225}{5{,}628} \approx 25{,}276\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Observação: o uso do gás ideal aqui é justificável porque a pressão de saturação é baixa; valores tabelados de v_g darão número muito semelhante.

Passo 5

Calcular o volume específico inicial v_1 usando o título x=0{,}90:
v_{fg} = v_g - v_f \approx 25{,}276 - 0{,}001003 \approx 25{,}275\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg},
v_1 = v_f + x\,v_{fg} \approx 0{,}001003 + 0{,}90\cdot 25{,}275 \approx 0{,}001003 + 22{,}7475 \approx 22{,}7485\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.

Passo 6

Volume total inicial V_1:
V_1 = m\,v_1 = 0{,}045\\ \mathrm{kg}\times 22{,}7485\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} \approx 1{,}02368\\ \mathrm{m}^3.
Verificação rápida de ordem de grandeza: massa pequena e grande v_1 por ter muito vapor — faz sentido V_1 ser da ordem de 1\\ \mathrm{m}^3.

Passo 7

Calcular variação de volume e trabalho: \Delta V = V_2 - V_1,
\Delta V = 1{,}20000 - 1{,}02368 = 0{,}17632\\ \mathrm{m}^3.
O trabalho (com p_{\mathrm{sat}} constante) é
W = p_{\mathrm{sat}}\,\Delta V.
Lembrando que 1\\ \mathrm{kPa\cdot m}^3 = 1\\ \mathrm{kJ}, então basta multiplicar p em kPa por \Delta V em m³ para obter W em kJ:
W = 5{,}628\\ \mathrm{kPa}\times 0{,}17632\\ \mathrm{m}^3 \approx 0{,}9926\\ \mathrm{kJ}.

Passo 8

Interpretação e verificação: o trabalho positivo aqui significa trabalho realizado pelo sistema (expansão). A aproximação do vapor como gás ideal introduz erro muito pequeno dada a baixa pressão; se usássemos valores exatos de tabelas para v_g o resultado mudaria apenas na terceira casa significativa. Em joules:
W \approx 0{,}9926\\ \mathrm{kJ} = 992{,}6\\ \mathrm{J}.

Resposta

W \approx 0{,}993\\ \mathrm{kJ} (aprox. 993\\ \mathrm{J})

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