3.32 A 1200-kg car accelerates from zero to 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h} over a distance of 400 m . The road at the end of the 400 m is at 10 m higher elevation. What is the total increase in the car’s kinetic and potential energy?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a quantia total de aumento da energia cinética mais a energia potencial do carro ao final do trecho. Dados:
m=1200\\ \mathrm{kg} (massa do carro)
v_i=0 (velocidade inicial)
v_f=100\\ \mathrm{km/h} (velocidade final)
distância percorrida =400\\ \mathrm{m} (informação dada, mas não necessária para calcular energia)
variação de altura \Delta h=10\\ \mathrm{m} (o final está 10\\ \mathrm{m} mais alto)
O que se pede: calcular o aumento total de energia, isto é \Delta E_{\text{total}}=\Delta K+\Delta U, onde \Delta K é a variação da energia cinética e \Delta U é a variação da energia potencial.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Energia cinética de um objeto em movimento: K=\dfrac{1}{2} m v^2. Aqui m é a massa em quilogramas e v é a velocidade em metros por segundo. A variação da energia cinética ao passar de v_i para v_f é \Delta K=\dfrac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2).
  • Energia potencial gravitacional (para pequenas alturas perto da superfície da Terra): U=m g h. Aqui g é a aceleração da gravidade (usamos g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}) e h é a altura em metros. A variação ao subir \Delta h é \Delta U=m g \Delta h.
Portanto a quantidade que queremos é
\Delta E_{\text{total}}=\Delta K+\Delta U=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)+m g \Delta h.

Passo 3

Primeiro passo numérico importante: converter a velocidade final de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}, porque as fórmulas usam o SI. A conversão é
1\\ \mathrm{km/h}=\frac{1000\\ \mathrm{m}}{3600\\ \mathrm{s}}=\frac{5}{18}\\ \mathrm{m/s}.
Logo
v_f=100\\ \mathrm{km/h}=100\cdot\frac{5}{18}\\ \mathrm{m/s}=\frac{250}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx 27,78\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a variação da energia cinética. Como v_i=0, temos
\Delta K=\frac{1}{2}m v_f^2.
Compute v_f^2 usando a forma fracionária:
v_f^2=\left(\frac{250}{9}\right)^2=\frac{62500}{81}\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
Agora
\Delta K=\frac{1}{2}\cdot 1200\cdot \frac{62500}{81}=600\cdot\frac{62500}{81}=\frac{37500000}{81}\\ \mathrm{J}.
Calculando numericamente,
\Delta K\approx 462962{,}96\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular a variação da energia potencial devido ao ganho de altura \Delta h=10\\ \mathrm{m}:
\Delta U=m g \Delta h=1200\cdot 9{,}8\cdot 10.
Fazendo as contas passo a passo: 1200\cdot 9{,}8=11760 e multiplicando por 10 obtemos
\Delta U=117600\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Somar as duas contribuições para obter o aumento total de energia:
\Delta E_{\text{total}}=\Delta K+\Delta U\approx 462962{,}96 + 117600 = 580562{,}96\\ \mathrm{J}.
Arredondando a um número prático (duas ou três casas significativas razoáveis), podemos escrever \Delta E_{\text{total}}\approx 5{,}81\times 10^{5}\\ \mathrm{J}.

Resposta

5{,}81\times 10^{5}\\ \mathrm{J}

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