[4.7] Um cilindro com paredes rígidas e bem isoladas é dividido em duas partes por uma parede isolante rígida com um pequeno orifício. Um pistão isolado e sem atrito é mantido contra a partição perfurada, evitando que o gás do outro lado escorra pelo furo. O gás é mantido a uma pressão Pi por outro pistão isento de atrito. Imagine que ambos os pistões se movam simultaneamente de tal forma que, quando o gás flui através do orifício, a pressão permaneça no valor constante Pi em um lado da parede divisória e um valor constante inferior Pf no outro lado, até que todo o gás seja forçado através do buraco. (Nota: Este processo é chamado de processo de estrangulamento.) Prove que:
Ui+Pi Vi=Uf+Pf Vf

Passo 1

O enunciado descreve um processo de estrangulamento (throttling) num cilindro adiabático e com duas faces sob pressões constantes Pi e Pf, ligadas por um orifício. O que precisamos usar é a primeira lei da termodinâmica para sistema de controle de massa (o gás), sem troca de calor, desprezando energias cinética e potencial, e calculando o trabalho de fronteira feito pelos pistões.

Passo 2

Escolhendo o gás como sistema, aplicamos a primeira lei na forma ΔU = Q + W. Como o cilindro é bem isolado, Q = 0, e podemos ainda desprezar ΔKE e ΔPE, ficando ΔU = W, onde W é o trabalho total feito sobre o gás pelos dois pistões.

Passo 3

O trabalho do pistão de alta pressão sobre o gás é W_i = +P_i V_i, pois o pistão empurra o gás em um deslocamento cujo volume total deslocado é V_i. Já o pistão de baixa pressão realiza trabalho sobre o gás negativo, pois o gás empurra o pistão para fora: W_f = –P_f V_f. Logo o trabalho total sobre o gás é
W = Wi + Wf = Pi Vi - Pf Vf

Passo 4

Substituindo em ΔU = W e lembrando que ΔU = U_f - U_i, obtemos
Uf - Ui = Pi Vi - Pf Vf
que, rearranjando, dá exatamente
Ui + Pi Vi = Uf + Pf Vf

Resposta

U_i + P_i V_i = U_f + P_f V_f

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