[4.8] Um recipiente de volume
contém
mols de gás a alta pressão. Conectado ao recipiente há um tubo capilar através do qual o gás pode escoar lentamente para a atmosfera, onde a pressão é
. Em torno do recipiente e do tubo capilar há um banho de água, em que é imerso um resistor elétrico. O gás pode escoar lentamente através do tubo capilar para a atmosfera enquanto a energia elétrica é dissipada no resistor em tal velocidade que a temperatura do gás, do recipiente, do tubo capilar e da água é mantida igual à do ar do lado de fora. Mostre que, depois que escoou tanto gás quanto possível, durante o intervalo de tempo
, a variação da energia interna é de:
Onde
é o volume molar do gás à pressão atmosférica,
é a diferença de potencial através do resistor, e
é a corrente no resistor.
Passo 1
A questão envolve termodinâmica de gases: temos um recipiente de volume
com
mols de gás a alta pressão, um capilar que deixa o gás escapar lentamente para a atmosfera a pressão
e um resistor dissipando energia elétrica (tensão
e corrente
), tudo mantido à temperatura constante. Para resolver precisamos aplicar a primeira lei da termodinâmica a um processo isotérmico e calcular o calor fornecido pelo resistor e o trabalho realizado pelo gás.
Passo 2
Como o processo é isoterma e lento, a temperatura do gás permanece fixa, então a variação de energia interna
obedece à primeira lei: calor trocado
menos trabalho realizado pelo sistema
. Podemos escrever
Passo 3
O calor
fornecido ao gás vem da dissipação elétrica no resistor. Como potência elétrica é
, em tempo
o calor total é
Passo 4
O trabalho
realizado pelo gás é o trabalho de expansão contra a pressão constante da atmosfera
. O volume inicial do gás no recipiente é
e, ao final, saem
mols para a atmosfera, ocupando volume
. Assim o aumento de volume é
e
Passo 5
Substituindo
e
na primeira lei, obtemos
o que coincide com o resultado pedido.