[4.8] Um recipiente de volume V contém n mols de gás a alta pressão. Conectado ao recipiente há um tubo capilar através do qual o gás pode escoar lentamente para a atmosfera, onde a pressão é P0. Em torno do recipiente e do tubo capilar há um banho de água, em que é imerso um resistor elétrico. O gás pode escoar lentamente através do tubo capilar para a atmosfera enquanto a energia elétrica é dissipada no resistor em tal velocidade que a temperatura do gás, do recipiente, do tubo capilar e da água é mantida igual à do ar do lado de fora. Mostre que, depois que escoou tanto gás quanto possível, durante o intervalo de tempo t, a variação da energia interna é de:
De
Onde v0 é o volume molar do gás à pressão atmosférica, E é a diferença de potencial através do resistor, e I é a corrente no resistor.

Passo 1

A questão envolve termodinâmica de gases: temos um recipiente de volume V com n mols de gás a alta pressão, um capilar que deixa o gás escapar lentamente para a atmosfera a pressão P0 e um resistor dissipando energia elétrica (tensão E e corrente I), tudo mantido à temperatura constante. Para resolver precisamos aplicar a primeira lei da termodinâmica a um processo isotérmico e calcular o calor fornecido pelo resistor e o trabalho realizado pelo gás.

Passo 2

Como o processo é isoterma e lento, a temperatura do gás permanece fixa, então a variação de energia interna De obedece à primeira lei: calor trocado Q menos trabalho realizado pelo sistema W. Podemos escrever
De

Passo 3

O calor Q fornecido ao gás vem da dissipação elétrica no resistor. Como potência elétrica é EI, em tempo t o calor total é
Q = E I t

Passo 4

O trabalho W realizado pelo gás é o trabalho de expansão contra a pressão constante da atmosfera P0. O volume inicial do gás no recipiente é V e, ao final, saem n mols para a atmosfera, ocupando volume n v0. Assim o aumento de volume é De e
W = P0,De

Passo 5

Substituindo Q e W na primeira lei, obtemos
De
o que coincide com o resultado pedido.

Resposta

De

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