3-42. Para o cloreto de metila a 100^circ C, o segundo e o terceiro coeficientes virial são:
B=-242,5 cm^3 cdot mol^-1 C=25.200 cm^6 cdot mol^-2
Calcule o trabalho na compressão isotérmica, mecanicamente reversível, de 1 mol de cloreto de metila de 1 bar até 55 bar, a 100^circ C. Tome como base para os cálculos as seguintes formas da equação virial:
(a)
Z=1+BV+CV^2
(b)
Z=1+B^prime P+C^prime P^2
em que
B^prime=BR T e C^prime=C-B^2(R T)^2
Por que as duas equações não fornecem exatamente o mesmo resultado?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o trabalho realizado durante uma compressão isotérmica e mecanicamente reversível de 1 mol de cloreto de metila, de 1 bar até 55 bar, a 100°C. Para isso, vamos usar a equação virial, que ajuda a relacionar a pressão, volume e temperatura de um gás real. Precisaremos dos segundo e terceiro coeficientes viriais fornecidos: $ B = -242,5 , cm^3 \cdot mol^{-1} $ e $ C = 25.200 , cm^6 \cdot mol^{-2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a equação virial. Ela é uma expansão em série que descreve o comportamento de gases reais, onde $ Z $ é o fator de compressibilidade, $ P $ a pressão, $ V $ o volume molar e $ T $ a temperatura.
Na parte (a), a equação está em função do volume:
Z
Na parte (b), a equação está em função da pressão:
P
onde
V
T
Aqui, $ R $ é a constante dos gases e $ T $ a temperatura em Kelvin.

Passo 3

Vamos calcular primeiro as constantes $ B’ $ e $ C’ $ para usar a equação (b).
A temperatura é 100°C, que em Kelvin fica:
B'
A constante dos gases $ R $ é aproximadamente:
C'
Agora, calculamos $ B’ $:
T = 100 + 273,15 = 373,15 , K
Primeiro, convertamos $ B $ para liters:
R
R = 0,08314 , L bar K^-1 mol^-1
Então:
B'

Passo 4

Agora, calculamos $ C’ $:
C'
Primeiro, precisamos converter $ C $ para $ L^2 \cdot mol^{-2} $:
C' = C - B^2(RT)^2
Calculando $ B^2 $:
C
Então:
L^2 cdot mol^-2

Passo 5

Agora que temos $ B’ $ e $ C’ $, vamos usar a equação (b) para encontrar o fator de compressibilidade $ Z $ em função da pressão.
A equação fica:
B'
Queremos calcular o trabalho $ W $ durante a compressão, que é dado por:
C'
Substituindo $ Z $:
Z
Z = 1 + B' P + C' P^2
Dados:
W
W = -nRT integralP1^P2 Z dPP
Z
W = -nRT integralP1^P2 (1 + B' P + C' P^2) dPP
W = -nRT [ ln(P2P1) + B' (P2 - P1) + C'2 (P2^2 - P1^2) ]
n = 1 , mol
P1 = 1 , bar

Passo 6

Vamos agora calcular cada parte do trabalho:
Primeiro, o termo do logaritmo:
ln(551) = ln(55) approx 4,007
Segundo, o termo linear de $ P $:
P
Terceiro, o termo quadrático de $ P $:
B' (P2 - P1) = -0,0078 times (55 - 1) = -0,0078 times 54 approx -0,4212
P
C'2 (P2^2 - P1^2) = -3,47 times 10^-52 times (55^2 - 1^2)
Somando tudo:
= -1,735 times 10^-5 times (3025 - 1)
= -1,735 times 10^-5 times 3024 approx -0,0524
ln(551) + B' (55 - 1) + C'2 (55^2 - 1^2)

Passo 7

Agora, calculamos o trabalho $ W $:
W
W = -nRT times 3,533
W = -1 times 0,08314 times 373,15 times 3,533
W approx -0,08314 times 373,15 times 3,533
W approx -0,08314 times 1317,47
Convertendo para unidades mais comuns de energia. Sabemos que:
W approx -109,6 , L bar
Então:
1 , L bar = 100 , J
W approx -109,6 times 100

Resposta

O trabalho realizado na compressão isotérmica de 1 mol de cloreto de metila de 1 bar até 55 bar a 100°C é aproximadamente -10.960 , J.

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