3-41. O comportamento de determinado gás é descrito pela equação de estado:
Aqui,
é uma constante e
é uma função somente de
. Para esse gás, determine expressões para a compressibilidade isotérmica
e para o coeficiente de pressão térmica (
Essas expressões devem conter somente
e constantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Termodinâmica juntos! A gente tem uma equação de estado para um gás específica e precisa encontrar duas propriedades importantes: a compressibilidade isotérmica (
) e o coeficiente de pressão térmica (
). Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e manipular a equação de estado fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com a compressibilidade isotérmica (
). A definição dessa propriedade é:
Isso significa que precisamos encontrar a derivada de
em relação a
mantendo a temperatura (
) constante.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação de estado dada para isolar
. A equação é:
Primeiro, vamos distribuir o
no segundo termo:
Agora, vamos isolar
dividindo todos os termos por
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
mantendo
constante:
Como
,
,
e
são constantes ou funções de
apenas, a derivada fica:
Agora, substituímos na fórmula da compressibilidade isotérmica:
Substituindo o valor de
que encontramos:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 5
Agora, vamos determinar o coeficiente de pressão térmica
. Para isso, vamos derivar a equação de estado em relação a
mantendo
constante.
A equação de estado é:
Rearranjando para isolar
:
Fatorando
:
Isolando
:
Agora, derivamos
em relação a
mantendo
constante:
Simplificando os termos:
Agora, substituímos
pelo valor que encontramos anteriormente:
Substituindo na expressão:
Simplificando:
E mais simplificando:
Simplificando ainda mais:
Cancelando termos:
Resposta
As expressões para a compressibilidade isotérmica
e para o coeficiente de pressão térmica
são:
e