3-41. O comportamento de determinado gás é descrito pela equação de estado:
P V=R T+(b-thetaR T) P
Aqui, b é uma constante e theta é uma função somente de T. Para esse gás, determine expressões para a compressibilidade isotérmica kappa e para o coeficiente de pressão térmica ( partial P / partial T)V Essas expressões devem conter somente T, P, theta, d theta / d T e constantes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Termodinâmica juntos! A gente tem uma equação de estado para um gás específica e precisa encontrar duas propriedades importantes: a compressibilidade isotérmica ( kappa) e o coeficiente de pressão térmica ( ( partial Ppartial T )V). Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e manipular a equação de estado fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com a compressibilidade isotérmica ( kappa). A definição dessa propriedade é:
kappa = -1V ( partial Vpartial P )T
Isso significa que precisamos encontrar a derivada de V em relação a P mantendo a temperatura ( T) constante.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação de estado dada para isolar V. A equação é:
P V = R T + (b - thetaR T) P
Primeiro, vamos distribuir o P no segundo termo:
P V = R T + b P - theta PR T
Agora, vamos isolar V dividindo todos os termos por P:
V = R TP + b - thetaR T

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de V em relação a P mantendo T constante:
partial Vpartial P = partialpartial P ( R TP + b - thetaR T )
Como R, T, b e theta são constantes ou funções de T apenas, a derivada fica:
partial Vpartial P = -R TP^2
Agora, substituímos na fórmula da compressibilidade isotérmica:
kappa = -1V ( -R TP^2 ) = R TP^2 V
Substituindo o valor de V que encontramos:
kappa = R TP^2 ( R TP + b - thetaR T )
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por P:
kappa = R TP ( R T + b P - theta PR T )

Passo 5

Agora, vamos determinar o coeficiente de pressão térmica ( partial Ppartial T )V. Para isso, vamos derivar a equação de estado em relação a T mantendo V constante.
A equação de estado é:
P V = R T + (b - thetaR T) P
Rearranjando para isolar P:
P V - b P + theta PR T = R T
Fatorando P:
P ( V - b + thetaR T ) = R T
Isolando P:
P = R TV - b + thetaR T
Agora, derivamos P em relação a T mantendo V constante:
( partial Ppartial T )V = R ( V - b + thetaR T ) - R T ( dthetadT cdot 1R T - thetaR T^2 )( V - b + thetaR T )^2
Simplificando os termos:
( partial Ppartial T )V = R (V - b) + thetaT - dthetadT( V - b + thetaR T )^2
Agora, substituímos V pelo valor que encontramos anteriormente:
V = R TP + b - thetaR T
Substituindo na expressão:
( partial Ppartial T )V = R ( R TP + b - thetaR T - b ) + thetaT - dthetadT( R TP + b - thetaR T - b + thetaR T )^2
Simplificando:
( partial Ppartial T )V = R ( R TP - thetaR T ) + thetaT - dthetadT( R TP )^2
E mais simplificando:
( partial Ppartial T )V = R^2 TP - R thetaR T + thetaT - dthetadTR^2 T^2P^2 = R^2 TP - thetaT + thetaT - dthetadTR^2 T^2P^2
Simplificando ainda mais:
( partial Ppartial T )V = R^2 TP - dthetadTR^2 T^2P^2 = R^2 T P^2 - P dtheta / dTR^2 T^2 P = P^2 R^2 T - P R^2 T^2 dtheta / dTR^2 T^2 P^2
Cancelando termos:
( partial Ppartial T )V = 1T - dthetadT cdot 1R T^2

Resposta

As expressões para a compressibilidade isotérmica kappa e para o coeficiente de pressão térmica ( partial Ppartial T )V são:
kappa = R TP ( R T + b P - dfractheta PR T )
e
( partial Ppartial T )V = 1T - 1R T^2 cdot dthetadT

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