A 50/50 (by mole) n-pentane/n-heptane liquid mixture is flashed at 7.34 psia and 325 K . Analysis of the liquid phase leaving the unit reveals that the flow rate for the liquid is 0.882 \mathrm{~mol} / \mathrm{s}. What is the flow rate of the mixture entering the flash distillation unit? What is the flow rate and com position of the vapor leaving the flash distillation unit?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo retirado do enunciado):
  • Composição molar do fluxo de alimentação: \;z_{\text{C}_5}=0,5 (n-pentano), \;z_{\text{C}_7}=0,5 (n-heptano).
  • Condições de flash: pressão \;P=7{,}34\\ \mathrm{psia} e temperatura \;T=325\\ \mathrm{K}.
  • O fluxo molar da fase líquida que sai do flash é \;L=0{,}882\\ \mathrm{mol/s}.
  • Perguntas:
    1. Qual é o fluxo molar da mistura que entra no flash (ou seja, o fluxo de alimentação \;F)?
    2. Qual é o fluxo molar do vapor que sai do flash (ou seja, \;V) e qual a composição do vapor (ou seja, \;y_{\text{C}_5} e \;y_{\text{C}_7})?

Passo 2

Estratégia e hipóteses (explicadas de forma didática)
  • Vou assumir solução líquida ideal e vapor ideal — isso é comum em exercícios de flash quando não são dadas correções de atividade ou fugacidade. Nessas condições vale a Lei de Raoult:
    y_i P = x_i P_i^{\text{sat}},
    onde:
    • y_i é a fração molar do componente i na fase vapor,
    • x_i é a fração molar do componente i na fase líquida,
    • P é a pressão total do sistema,
    • P_i^{\text{sat}} é a pressão de vapor (saturção) do componente i à temperatura T.
  • Definimos o coeficiente de equilíbrio (K-value) de forma prática:
    K_i \equiv \frac{y_i}{x_i}=\frac{P_i^{\text{sat}}}{P}.
    Assim, uma vez conhecidos P_i^{\text{sat}} e P, obtemos K_i.
  • Para um flash simples com alimentação contínua e correntes F (feed), V (vapor) e L (líquido), vale para cada componente i o balanço:
    F z_i = L x_i + V y_i.
    Introduzindo \alpha\equiv V/F (fração molar vapor do produto), usa-se a forma usual da equação de Rachford–Rice:
    f(\alpha)=\sum_i \frac{z_i (K_i-1)}{1+\alpha (K_i-1)}=0,
    que permite encontrar \alpha. A partir de \alpha obtemos F=L/(1-\alpha) e V=\alpha F. As frações líquidas podem ser obtidas por
    x_i=\frac{z_i}{1+\alpha (K_i-1)},
    e y_i=K_i x_i.

Passo 3

Cálculo das pressões de saturação \;P_i^{\text{sat}} à temperatura \;T=325\\ \mathrm{K} (aproximação por Clausius–Clapeyron)
Como não foram fornecidas tabelas de vapor, uso a aproximação de Clausius–Clapeyron a partir do ponto de ebulição normal (pressão =1\\ \mathrm{atm}) e da entalpia de vaporização aproximada. A fórmula (na forma integrada, assumindo \Delta H_{\text{vap}} constante) é
\ln\!\left(\frac{P^{\text{sat}}(T)}{P^{\text{sat}}(T_b)}\right) = -\frac{\Delta H_{\text{vap}}}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_b}\right),
onde R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Dados aproximados usados (valores típicos, apresentados para que a conta fique reproduzível):
  • Para n-pentano: ponto de ebulição normal \;T_{b,\text{C}_5}=309{,}2\\ \mathrm{K} e \Delta H_{\text{vap,C}_5}\approx 28{,}2\\ \mathrm{kJ/mol}=28200\\ \mathrm{J/mol}.
  • Para n-heptano: ponto de ebulição normal \;T_{b,\text{C}_7}=371{,}6\\ \mathrm{K} e \Delta H_{\text{vap,C}_7}\approx 36{,}2\\ \mathrm{kJ/mol}=36200\\ \mathrm{J/mol}.
Como P^{\text{sat}}(T_b)=1\\ \mathrm{atm}, temos:
Para n-pentano:
\ln P^{\text{sat}}_{\text{C}_5} = -\frac{28200}{8{,}314}\left(\frac{1}{325}-\frac{1}{309{,}2}\right).
Cálculo passo a passo:
\frac{28200}{8{,}314}\approx 3392, \qquad \frac{1}{325}-\frac{1}{309{,}2}\approx -0{,}0001547.
Portanto
\ln P^{\text{sat}}_{\text{C}_5}\approx 3392\times(-0{,}0001547)=-0{,}5248,
mas atenção ao sinal: ao usar T_b como referência a forma correta é \ln(P/P_{atm})=-\Delta H/R(1/T-1/T_b). Substituindo os números corretamente obtemos (fazendo a conta com sinais consistentemente)
\ln P^{\text{sat}}_{\text{C}_5}\approx +0{,}5248,
logo
P^{\text{sat}}_{\text{C}_5}\approx e^{0{,}5248}\approx 1{,}69\\ \mathrm{atm}.
Convertendo para \mathrm{psia} ( 1\\ \mathrm{atm}=14{,}696\\ \mathrm{psia}):
P^{\text{sat}}_{\text{C}_5}\approx 1{,}69\times14{,}696\approx 24{,}85\\ \mathrm{psia}.
Para n-heptano:
\ln P^{\text{sat}}_{\text{C}_7} = -\frac{36200}{8{,}314}\left(\frac{1}{325}-\frac{1}{371{,}6}\right).
Cálculo:
\frac{36200}{8{,}314}\approx 4{,}356, \qquad \frac{1}{325}-\frac{1}{371{,}6}\approx 0{,}0003859,
logo
\ln P^{\text{sat}}_{\text{C}_7}\approx -4{,}356\times0{,}0003859\approx -1{,}681,
e
P^{\text{sat}}_{\text{C}_7}\approx e^{-1{,}681}\approx 0{,}186\\ \mathrm{atm}\approx 0{,}186\times14{,}696\approx 2{,}73\\ \mathrm{psia}.
(Resumo das pressões de saturação obtidas:)
P^{\text{sat}}_{\text{C}_5}\approx 24{,}85\\ \mathrm{psia},\qquad P^{\text{sat}}_{\text{C}_7}\approx 2{,}73\\ \mathrm{psia}.

Passo 4

Cálculo dos K-values e observação qualitativa
Usando a definição K_i=P_i^{\text{sat}}/P com P=7{,}34\\ \mathrm{psia}:
K_{\text{C}_5}=\frac{24{,}85}{7{,}34}\approx 3{,}39, \qquad K_{\text{C}_7}=\frac{2{,}73}{7{,}34}\approx 0{,}372.
Interpretação rápida: \;K_{\text{C}_5}>1 (n-pentano prefere vapor), \;K_{\text{C}_7}<1 (n-heptano prefere líquido). Faz sentido físico: pentano tem vapor mais volátil à 325\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Resolvendo a equação de Rachford–Rice para encontrar \alpha=V/F
A equação é
f(\alpha)=\sum_{i=\text{C}_5,\text{C}_7}\frac{z_i (K_i-1)}{1+\alpha (K_i-1)}=0,
com z_{\text{C}_5}=z_{\text{C}_7}=0{,}5. Substituindo os números ( K_{\text{C}_5}-1=2{,}39, K_{\text{C}_7}-1=-0{,}628):
f(\alpha)=\frac{0{,}5\cdot 2{,}39}{1+2{,}39\alpha}+\frac{0{,}5\cdot(-0{,}628)}{1-0{,}628\alpha}=0.
Vou avaliar numericamente f(\alpha) e encontrar a raiz no intervalo 0\le\alpha\le1.
Cálculo pontual (algumas avaliações para achar a raiz):
  • \alpha=0{,}5: f(0{,}5)\approx 0{,}5447-0{,}4579=0{,}0868 (positivo).
  • \alpha=0{,}6: f(0{,}6)\approx 0{,}4910-0{,}5040=-0{,}0130 (negativo).
A raiz está entre 0{,}5 e 0{,}6. Fazendo uma interpolação/iteração rápida encontra-se
\alpha\approx 0{,}587.
(Verificação rápida: para \alpha=0{,}587 os termos valem aproximadamente 0{,}4977 e 0{,}4966, diferença próxima de zero.)

Passo 6

Cálculo dos fluxos F e V usando L conhecido
Sabemos L=F(1-\alpha). Portanto
F=\frac{L}{1-\alpha}=\frac{0{,}882}{1-0{,}587}=\frac{0{,}882}{0{,}413}\approx 2{,}136\\ \mathrm{mol/s}.
Então
V=\alpha F \approx 0{,}587\times2{,}136\approx 1{,}254\\ \mathrm{mol/s}.
Cheque de conservação: F=V+L\Rightarrow 2{,}136\approx 1{,}254+0{,}882 OK.

Passo 7

Cálculo das composições líquida e de vapor
Frações líquidas por componente (fórmula direta):
x_i=\frac{z_i}{1+\alpha (K_i-1)}.
Para n-pentano:
x_{\text{C}_5}=\frac{0{,}5}{1+0{,}587(2{,}39)}=\frac{0{,}5}{2{,}403}\approx 0{,}2081.
Para n-heptano:
x_{\text{C}_7}=1-x_{\text{C}_5}\approx 0{,}7919.
Frações de vapor obtidas por y_i=K_i x_i:
y_{\text{C}_5}=K_{\text{C}_5} x_{\text{C}_5}\approx 3{,}39\times0{,}2081\approx 0{,}705,
y_{\text{C}_7}=K_{\text{C}_7} x_{\text{C}_7}\approx 0{,}372\times0{,}7919\approx 0{,}295.
Verificação: y_{\text{C}_5}+y_{\text{C}_7}\approx 1{,}000.

Passo 8

Interpretação final e checagens rápidas
  • O valor de \alpha\approx 0{,}587 indica que cerca de 58{,}7\% da alimentação sai como vapor.
  • Fração molar no vapor \;y_{\text{C}_5}\approx 0{,}705 significa que o vapor é rico em n-pentano, como esperado.
  • Valores numéricos foram calculados usando aproximações (Clausius–Clapeyron para P^{\text{sat}} e hipótese de solução ideal). Esses procedimentos são padrão em exercícios quando não são fornecidos dados de atividade ou tabelas exatas.

Resposta

F=2{,}136\\ \mathrm{mol/s}
V=1{,}254\\ \mathrm{mol/s};\quad y_{\text{n-pentano}}=0{,}705,\;y_{\text{n-heptano}}=0{,}295

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