Questão 2 (
pontos) Um gás ideal com
sofre uma expansão isotérmica em que seu volume dobra, seguida de uma contração isobárica até o volume inicial, e de aquecimento, a volume constante, até a temperatura inicial.
Calcule o coeficiente de desempenho de um refrigerador operando o ciclo inverso.
Calcule o coeficiente de desempenho de um refrigerador operando o ciclo inverso.
Passo 1
O enunciado dá um ciclo fechado percorrendo três processos sobre um gás ideal com
. O ciclo, na ordem indicada, é:
- Expansão isotérmica em que o volume dobra:
a temperatura inicial (isotérmico). - Contração isobárica que leva o volume de volta ao valor inicial:
(isobárico). - Aquecimento a volume constante que leva a temperatura de volta ao valor inicial:
(isocórico, constante).
O que se pede:
- Calcular o coeficiente de desempenho (COP) de um refrigerador que opera o ciclo inverso (isto é, o ciclo acima percorrido no sentido contrário).
Informações relevantes dadas:
-
(portanto gás monoatômico, útil para obter e ). - O volume dobra no primeiro processo:
. - O ciclo retorna ao estado inicial após os três processos (é um ciclo fechado).
Passo 2
Vamos rotular os estados e obter a temperatura do estado intermediário frio
em termos de
.
Estados:
- Estado 1:
. - Estado 2:
— porque é isotérmico. - Estado 3:
.
Da expansão isotérmica
vale
. Como
,
O processo
é isobárico com
e termina em
. Usando a equação dos gases ideais para o estado 3:
Mas
, logo
Portanto
Passo 3
Calcular o calor trocado em cada processo (no sentido do ciclo indicado no enunciado). Vamos trabalhar de forma geral em função de
— no final as quantidades que entram na razão do COP vão simplificar.
Processo 1 → 2: isotérmico a
.
- Para um gás ideal, em isotérmico
e o calor recebido é igual ao trabalho realizado:
Passo 4
Processo 2 → 3: isobárico (pressão
constante) com
variando de
para
.
Fórmula para calor em processo isobárico:
Precisamos de
. Para gás ideal monoatômico, usando
e
, temos
Com
obtemos
Substituindo em
e usando
:
Ou seja,
(calor liberado pelo gás nesse processo).
Passo 5
Processo 3 → 1: isocórico (volume
constante), aquecimento de
até
.
Calor em isocórico:
Ou seja,
.
Passo 6
Energia do ciclo (forward): trabalho líquido produzido
é igual ao somatório dos calores trocados (primeira lei no ciclo):
Observação:
, então
. Logo
: o ciclo, na ordem dada, é um motor térmico que produz trabalho.
Para o ciclo inverso (refrigerador) o trabalho de entrada necessário tem magnitude
mas agora é trabalho fornecido ao sistema.
Passo 7
Identificação do calor retirado do reservatório frio no ciclo inverso (isto é,
para o refrigerador).
No ciclo direto (motor) o único processo em que o gás libera calor (isto é,
) é o processo
:
. Esse calor liberado pelo motor é o calor rejeitado para o reservatório frio. Portanto, no ciclo inverso (quando a direção é invertida) o sistema vai absorver dessa mesma reserva fria a mesma magnitude de calor, ou seja
(Comentário rápido e tranquilizador: apesar de alguns processos não serem isométricos em temperatura, a identificação do reservatório frio fica associada ao trecho onde o motor rejeitava calor; invertendo o sentido, esse trecho passa a ser onde o refrigerador retira calor do espaço que se quer refrigerar.)
Passo 8
Agora a definição do coeficiente de desempenho (COP) de um refrigerador é
Substituindo
e
(os fatores
cancelam):
Fazendo a conta numérica: