Questão 2 ( \mathbf{2 , 0} pontos) Um gás ideal com \boldsymbol{\gamma}=1,67 sofre uma expansão isotérmica em que seu volume dobra, seguida de uma contração isobárica até o volume inicial, e de aquecimento, a volume constante, até a temperatura inicial.
Calcule o coeficiente de desempenho de um refrigerador operando o ciclo inverso.

Passo 1

O enunciado dá um ciclo fechado percorrendo três processos sobre um gás ideal com \gamma=1{,}67. O ciclo, na ordem indicada, é:
  • Expansão isotérmica em que o volume dobra: V_1 \to V_2=2V_1 a temperatura inicial T_1 (isotérmico).
  • Contração isobárica que leva o volume de volta ao valor inicial: V_2\to V_3=V_1 (isobárico).
  • Aquecimento a volume constante que leva a temperatura de volta ao valor inicial: T_3\to T_1 (isocórico, V_3=V_1 constante).
O que se pede:
  • Calcular o coeficiente de desempenho (COP) de um refrigerador que opera o ciclo inverso (isto é, o ciclo acima percorrido no sentido contrário).
Informações relevantes dadas:
  • \gamma = 1{,}67 (portanto gás monoatômico, útil para obter C_V e C_P).
  • O volume dobra no primeiro processo: V_2=2V_1.
  • O ciclo retorna ao estado inicial após os três processos (é um ciclo fechado).

Passo 2

Vamos rotular os estados e obter a temperatura do estado intermediário frio T_3 em termos de T_1.
Estados:
  • Estado 1: (P_1,V_1,T_1).
  • Estado 2: (P_2,V_2=2V_1,T_2=T_1) — porque 1\to2 é isotérmico.
  • Estado 3: (P_3,V_3=V_1,T_3).
Da expansão isotérmica 1\to2 vale P_1V_1 = P_2V_2. Como V_2=2V_1,
P_2 = \frac{P_1V_1}{V_2} = \frac{P_1V_1}{2V_1}=\frac{P_1}{2}.
O processo 2\to3 é isobárico com P_3=P_2 e termina em V_3=V_1. Usando a equação dos gases ideais para o estado 3:
T_3 = \frac{P_3 V_3}{nR} = \frac{P_2 V_1}{nR}.
Mas P_1V_1=nR T_1, logo
T_3 = \frac{P_2 V_1}{nR} = \frac{P_1}{2}\cdot\frac{V_1}{nR} = \frac{1}{2}\,T_1.
Portanto
T_3 = \frac{T_1}{2}.

Passo 3

Calcular o calor trocado em cada processo (no sentido do ciclo indicado no enunciado). Vamos trabalhar de forma geral em função de nR T_1 — no final as quantidades que entram na razão do COP vão simplificar.
Processo 1 → 2: isotérmico a T_1.
  • Para um gás ideal, em isotérmico \Delta U=0 e o calor recebido é igual ao trabalho realizado:
Q_{1\to2}=W_{1\to2}=nR T_1\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right)=nR T_1\ln 2.

Passo 4

Processo 2 → 3: isobárico (pressão P_2 constante) com T variando de T_1 para T_3=T_1/2.
Fórmula para calor em processo isobárico:
Q_{2\to3}=n C_P (T_3-T_1).
Precisamos de C_P. Para gás ideal monoatômico, usando \gamma=\dfrac{C_P}{C_V} e C_P-C_V=R, temos
C_V=\frac{R}{\gamma-1},\qquad C_P=\gamma C_V.
Com \gamma=1{,}67=\tfrac{5}{3} obtemos
C_V=\frac{R}{\tfrac{5}{3}-1}=\frac{R}{2/3}=\tfrac{3}{2}R, \qquad C_P=\gamma C_V=\tfrac{5}{3}\cdot\tfrac{3}{2}R=\tfrac{5}{2}R.
Substituindo em Q_{2\to3} e usando T_3=\tfrac{T_1}{2}:
Q_{2\to3}=n\cdot\frac{5}{2}R\left(\frac{T_1}{2}-T_1\right) = n\cdot\frac{5}{2}R\left(-\frac{T_1}{2}\right) = -\frac{5}{4}\,nR T_1.
Ou seja, Q_{2\to3}=-1{,}25\,nR T_1 (calor liberado pelo gás nesse processo).

Passo 5

Processo 3 → 1: isocórico (volume V_1 constante), aquecimento de T_3=T_1/2 até T_1.
Calor em isocórico:
Q_{3\to1}=n C_V (T_1-T_3)=n\cdot\frac{3}{2}R\left(T_1-\frac{T_1}{2}\right) = n\cdot\frac{3}{2}R\cdot\frac{T_1}{2} = \frac{3}{4}\,nR T_1.
Ou seja, Q_{3\to1}=0{,}75\,nR T_1.

Passo 6

Energia do ciclo (forward): trabalho líquido produzido W_{\text{net}} é igual ao somatório dos calores trocados (primeira lei no ciclo):
W_{\text{net}}=Q_{1\to2}+Q_{2\to3}+Q_{3\to1} = nR T_1\Big(\ln 2 -\frac{5}{4}+\frac{3}{4}\Big) = nR T_1\big(\ln 2 -\tfrac{1}{2}\big).
Observação: \ln 2\approx0{,}6931, então \ln2-\tfrac{1}{2}\approx0{,}1931>0. Logo W_{\text{net}}>0: o ciclo, na ordem dada, é um motor térmico que produz trabalho.
Para o ciclo inverso (refrigerador) o trabalho de entrada necessário tem magnitude
W_{\text{in}} = W_{\text{net}} = nR T_1\big(\ln 2 -\tfrac{1}{2}\big),
mas agora é trabalho fornecido ao sistema.

Passo 7

Identificação do calor retirado do reservatório frio no ciclo inverso (isto é, Q_{\text{frio}} para o refrigerador).
No ciclo direto (motor) o único processo em que o gás libera calor (isto é, Q<0) é o processo 2\to3: Q_{2\to3}=-\dfrac{5}{4}nR T_1. Esse calor liberado pelo motor é o calor rejeitado para o reservatório frio. Portanto, no ciclo inverso (quando a direção é invertida) o sistema vai absorver dessa mesma reserva fria a mesma magnitude de calor, ou seja
Q_{\text{frio}} = -Q_{2\to3} = \frac{5}{4}\,nR T_1.
(Comentário rápido e tranquilizador: apesar de alguns processos não serem isométricos em temperatura, a identificação do reservatório frio fica associada ao trecho onde o motor rejeitava calor; invertendo o sentido, esse trecho passa a ser onde o refrigerador retira calor do espaço que se quer refrigerar.)

Passo 8

Agora a definição do coeficiente de desempenho (COP) de um refrigerador é
\mathrm{COP} = \frac{Q_{\text{frio}}}{W_{\text{in}}}.
Substituindo Q_{\text{frio}}=\dfrac{5}{4}nR T_1 e W_{\text{in}}=nR T_1\big(\ln2-\tfrac{1}{2}\big) (os fatores nR T_1 cancelam):
\mathrm{COP}=\frac{\tfrac{5}{4}}{\ln2-\tfrac{1}{2}}.
Fazendo a conta numérica:
\ln2\approx0{,}693147\quad\Rightarrow\quad \ln2-\tfrac{1}{2}\approx0{,}193147,
\mathrm{COP}\approx\frac{1{,}25}{0{,}193147}\approx6{,}47.

Resposta

\mathrm{COP}\approx6{,}47

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