2.58 Um mol de ar executa um ciclo de Carnot. O reservatório quente está a
e o reservatório frio está a
. A pressão varia entre 0,2 bar e 60 bar. Determine o trabalho líquido produzido e a eficiência do ciclo.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):
- Um mol de ar executa um ciclo de Carnot.
- Temperatura do reservatório quente:
. - Temperatura do reservatório frio:
. - A pressão no ciclo varia entre
(mínima) e (máxima). - Pedidos do problema:
- Determinar o trabalho líquido produzido pelo ciclo.
- Determinar a eficiência do ciclo.
Passo 2
Converta as temperaturas para a escala absoluta (Kelvin) — passo obrigatório em termodinâmica:
- Para converter Celsius para Kelvin usamos a fórmula
. - Portanto:
Passo 3
Entender propriedades do ciclo de Carnot que vamos usar (aulas rápidas e essenciais):
- A eficiência de um ciclo de Carnot reversível depende somente das temperaturas dos reservatórios e é dada por
onde e são as temperaturas absoluta do reservatório quente e frio, respectivamente. - O calor absorvido na isoterma quente (a
) para um gás ideal é em que é o número de mols, é a constante universal dos gases e e são volumes nos extremos dessa isoterma. - Para o ciclo de Carnot com gás ideal há simetria das razões de volumes tal que
e isso implica que o trabalho líquido também pode ser escrito como - A constante dos gases que usaremos é
e mol.
Passo 4
Relacionar pressões e volumes nas isotermas (fórmula que precisamos aplicar):
- Para uma isoterma de um gás ideal a temperatura é constante, então
permanece constante durante essa isoterma. - Assim, na isoterma quente (
): Daí segue a relação entre volumes e pressões na isoterma: - O enunciado diz que a pressão varia entre
(mínima) e (máxima). Esses extremos de pressão correspondem aos maiores e menores volumes do ciclo (maior pressão → menor volume, menor pressão → maior volume). Para resolver o problema assumimos, como é habitual nesses exercícios, que a isoterma quente se estende entre os pontos de pressão máxima e mínima; portanto podemos tomar Assim: Observação: usamos a razão das pressões (a unidade “bar” cancela), então não precisamos converter pressões para pascal para obter a razão.
Passo 5
Calcular a eficiência do ciclo (fórmula direta do Carnot) — passo didático:
- Aplicando
com e : - Calculemos a fração:
Portanto ou em porcentagem .
Passo 6
Calcular o trabalho líquido usando a expressão conveniente (passo-a-passo das contas):
- Usamos
- Substituindo
, , e : - Primeiro calcule
: - Agora calcule
. - Finalmente:
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 7
Verificação rápida e cálculo do calor absorvido (opcional, para entender consistência):
- Podemos também calcular
: - Checando
: que confirma o valor de calculado anteriormente.