2.58 Um mol de ar executa um ciclo de Carnot. O reservatório quente está a 800^{\circ} \mathrm{C} e o reservatório frio está a 25^{\circ} \mathrm{C}. A pressão varia entre 0,2 bar e 60 bar. Determine o trabalho líquido produzido e a eficiência do ciclo.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):
  • Um mol de ar executa um ciclo de Carnot.
  • Temperatura do reservatório quente: \,800^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do reservatório frio: \,25^\circ\mathrm{C}.
  • A pressão no ciclo varia entre \,0{,}2\\ \mathrm{bar} (mínima) e \,60\\ \mathrm{bar} (máxima).
  • Pedidos do problema:
    1. Determinar o trabalho líquido produzido pelo ciclo.
    2. Determinar a eficiência do ciclo.

Passo 2

Converta as temperaturas para a escala absoluta (Kelvin) — passo obrigatório em termodinâmica:
  • Para converter Celsius para Kelvin usamos a fórmula \,T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
  • Portanto: T_h = 800 + 273{,}15 = 1073{,}15\\ \mathrm{K}
T_c = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}

Passo 3

Entender propriedades do ciclo de Carnot que vamos usar (aulas rápidas e essenciais):
  • A eficiência de um ciclo de Carnot reversível depende somente das temperaturas dos reservatórios e é dada por \eta = 1 - \frac{T_c}{T_h},onde \,T_h e \,T_c são as temperaturas absoluta do reservatório quente e frio, respectivamente.
  • O calor absorvido na isoterma quente (a \,T_h) para um gás ideal é Q_h = n R T_h \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right),em que n é o número de mols, R é a constante universal dos gases e V_1 e V_2 são volumes nos extremos dessa isoterma.
  • Para o ciclo de Carnot com gás ideal há simetria das razões de volumes tal que \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = \ln\!\left(\frac{V_3}{V_4}\right),e isso implica que o trabalho líquido também pode ser escrito como W_{\text{líq}} = n R (T_h - T_c)\,\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).í
  • A constante dos gases que usaremos é \,R = 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} e n=1 mol.

Passo 4

Relacionar pressões e volumes nas isotermas (fórmula que precisamos aplicar):
  • Para uma isoterma de um gás ideal a temperatura é constante, então \,pV = n R T permanece constante durante essa isoterma.
  • Assim, na isoterma quente ( T_h): p_1 V_1 = p_2 V_2 = n R T_h.Daí segue a relação entre volumes e pressões na isoterma: \frac{V_2}{V_1} = \frac{p_1}{p_2}.
  • O enunciado diz que a pressão varia entre \,0{,}2\\ \mathrm{bar} (mínima) e \,60\\ \mathrm{bar} (máxima). Esses extremos de pressão correspondem aos maiores e menores volumes do ciclo (maior pressão → menor volume, menor pressão → maior volume). Para resolver o problema assumimos, como é habitual nesses exercícios, que a isoterma quente se estende entre os pontos de pressão máxima e mínima; portanto podemos tomar p_1 = 60\\ \mathrm{bar},\qquad p_2 = 0{,}2\\ \mathrm{bar}.Assim: \frac{V_2}{V_1} = \frac{p_1}{p_2} = \frac{60}{0{,}2} = 300.Observação: usamos a razão das pressões (a unidade “bar” cancela), então não precisamos converter pressões para pascal para obter a razão.

Passo 5

Calcular a eficiência do ciclo (fórmula direta do Carnot) — passo didático:
  • Aplicando \eta = 1 - \frac{T_c}{T_h},com \,T_h = 1073{,}15\\ \mathrm{K} e \,T_c = 298{,}15\\ \mathrm{K}: \eta = 1 - \frac{298{,}15}{1073{,}15}.
  • Calculemos a fração: \frac{298{,}15}{1073{,}15} \approx 0{,}277817.Portanto \eta \approx 1 - 0{,}277817 = 0{,}722183 \approx 0{,}7222,ou em porcentagem \,72{,}22\%.

Passo 6

Calcular o trabalho líquido usando a expressão conveniente (passo-a-passo das contas):
  • Usamos W_{\text{líq}} = n R (T_h - T_c)\,\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).í
  • Substituindo n=1, R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, \,T_h - T_c = 1073{,}15 - 298{,}15 = 775{,}00\\ \mathrm{K} e \ln(300): W_{\text{líq}} = 1\cdot 8{,}314 \cdot 775{,}00 \cdot \ln(300).í
  • Primeiro calcule \ln(300): \ln(300) \approx 5{,}703782.
  • Agora calcule 8{,}314 \times 775{,}00 = 6443{,}35.
  • Finalmente: W_{\text{líq}} \approx 6443{,}35 \times 5{,}703782 \approx 36\,753{,}7\\ \mathrm{J}.íArredondando com três algarismos significativos: W_{\text{líq}} \approx 3{,}675\times 10^{4}\\ \mathrm{J}.í

Passo 7

Verificação rápida e cálculo do calor absorvido (opcional, para entender consistência):
  • Podemos também calcular Q_h = n R T_h \ln(V_2/V_1): Q_h = 1\cdot 8{,}314 \cdot 1073{,}15 \cdot \ln(300) \approx 50\,890\\ \mathrm{J}.
  • Checando W_{\text{líq}} = \eta Q_hí: \eta \, Q_h \approx 0{,}722183 \times 50\,890 \approx 36\,753{,}7\\ \mathrm{J},que confirma o valor de W_{\text{líq}}í calculado anteriormente.

Resposta

W_{\text{líquido}} \approx 3{,}675\times 10^{4}\\ \mathrm{J}í
\eta \approx 0{,}7222 (ou 72{,}22\%)

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