8.69 Considere um ciclo de potência a vapor regenerativo com dois aquecedores de água de alimentação, um fechado e o outro aberto, e um reaquecedor. Vapor d’água entra no primeiro estágio de turbina a 12 MPa e 480^{\circ} \mathrm{C} e se expande até 2 MPa . Parte do vapor é extraída a 2 MPa e levada ao aquecedor de água de alimentação fechado. O restante é reaquecido até 440^{\circ} \mathrm{C} a uma pressão de 2 MPa e, em seguida, se expande através do segundo estágio de turbina até 0,3 \mathrm{MPa}, e daí uma quantidade adicional é extraída e levada para o aquecedor de água de alimentação aberto, que opera a 0,3 \mathrm{MPa}. O vapor que se expande através do terceiro estágio de turbina sai na pressão de 6 kPa do condensador. A água de alimentação deixa o aquecedor fechado a 210^{\circ} \mathrm{C} e 12 MPa , e o condensado que sai como líquido saturado a 2 MPa é purgado para o aquecedor de água de alimentação aberto. O líquido saturado a 0,3 \mathrm{MPa} sai do aquecedor de água de alimentação aberto. Admita que todas as bombas e estágios de turbina operem isentropicamente. Determine para o ciclo:
(a) a taxa de transferência de calor para o fluido de trabalho que passa pelo gerador de vapor, em kJ por kg de vapor que entra no primeiro estágio de turbina.
(b) a eficiência térmica.
(c) a taxa de transferência de calor do fluido de trabalho que passa pelo condensador para a água de resfriamento, em kJ por kg de vapor que entra no primeiro estágio de turbina.

Passo 1

O enunciado pede que analisemos um ciclo a vapor regenerativo com dois aquecedores de água de alimentação (um fechado a 2 MPa e um aberto a 0,3 MPa) e um reaquecedor. As informações dadas (resumidas e organizadas) são:
  • Vapor entra na primeira turbina (estágio 1) com pressão e temperatura: (P_1, T_1) = (12\\ \text{MPa},\\\ 480^\circ\text{C}).
  • Expansão isentrópica até (P_2)=2\\ \text{MPa}. Nesse ponto uma fração y do vapor é extraída e enviada ao aquecedor fechado (condensa lá).
  • A fração restante (1-y) é reaquecida a (P=2\\ \text{MPa},\\ T=440^\circ\text{C}) e entra no segundo estágio da turbina.
  • Após o segundo estágio a pressão é 0{,}3\\ \text{MPa}. Nesse ponto outra fração z é extraída para o aquecedor aberto (mistura/condensação no aberto).
  • O restante (1-y-z) passa pelo terceiro estágio da turbina e sai ao condensador a 6\\ \text{kPa}.
  • O condensado do aquecedor fechado sai como líquido saturado a 2\\ \text{MPa} e é enviado ao aquecedor aberto.
  • O aquecedor aberto fornece uma saída de líquido saturado a 0{,}3\\ \text{MPa}.
  • A água de alimentação sai do aquecedor fechado com (P=12\\ \text{MPa},\\ T=210^\circ\text{C}).
  • Todas as bombas e turbinas são isentrópicas (bombas: trabalho aproximado por v\Delta P quando necessário).
  • Pedidos:
    (a) taxa de transferência de calor para o fluido de trabalho que passa pelo gerador de vapor (em kJ por kg de vapor que entra na 1ª turbina) — ou seja, q_{in} por kg de vapor de entrada;
    (b) eficiência térmica do ciclo;
    (c) taxa de transferência de calor para o condensador por kg de vapor que entra na 1ª turbina (isto é, q_{out} por kg de vapor que entra).
Observação importante: para obter valores numéricos finais é obrigatório consultar tabelas de vapor (ou uma EOS/soft) para obter entalpias e entropias em cada estado mencionado. Nas etapas seguintes eu mostro passo a passo como montar e resolver o problema (inclusive as equações que permitem calcular as frações de extração y e z), e onde você deve pegar cada valor nas tabelas. Se quiser, eu posso também fazer a busca e calcular os números se autorizar que eu use uma tabela padrão — mas aqui eu apresento o método completo para que você consiga replicar em prova usando as tabelas.

Passo 2

Definição dos estados e das incógnitas (organização para montar balanços):
  • Vamos tomar massa de vapor que entra na 1ª turbina igual a 1\\ \text{kg} (base por kg).
  • Definir frações: \begin{aligned} &y=\text{fração extraída em }2\\ \text{MPa (para o aquecedor fechado)},\\\ &z=\text{fração extraída em }0{,}3\\ \text{MPa (para o aquecedor aberto)}. \end{aligned}çãíçãí
  • Estados (notação prática):
    • Estado 1: entrada 1ª turbina \Rightarrow (P_1,T_1)=(12\\ \text{MPa},480^\circ\text{C}). Entalpia h_1, entropia s_1.
    • Estado 2: saída 1ª turbina (após expansão isentrópica a 2\\ \text{MPa}). Entalpia h_2 (obtida impondo s_2=s_1 e P_2=2\\ \text{MPa}).
    • Estado 2c (condensado do aquecedor fechado): líquido saturado a 2\\ \text{MPa} com h_{f,2}.
    • Estado 3 (após reaquecimento): vapor a 2\\ \text{MPa},440^\circ\text{C}. Entalpia h_3 e entropia s_3.
    • Estado 4: saída do segundo estágio (após expansão isentrópica de 2\\ \text{MPa} até 0{,}3\\ \text{MPa}). Entalpia h_4 (obtida impondo s_4=s_3 e P_4=0{,}3\\ \text{MPa}).
    • Estado 4c (condensado no aquecedor aberto): líquido saturado a 0{,}3\\ \text{MPa} com entalpia h_{f,0{,}3}.
    • Estado 5: saída do terceiro estágio da turbina (após expansão isentrópica de 0{,}3\\ \text{MPa} até 6\\ \text{kPa}). Entalpia h_5 (obtida impondo isentropia e P=6\\ \text{kPa}).
    • Estado cond (no condensador): líquida saturada a 6\\ \text{kPa} com entalpia h_{f,6\text{ kPa}} (que é o entalpia do fluido que sai do condensador).
    • Estados das águas bombeadas: ao sair das bombas a pressões intermediárias deve-se calcular entalpias aproximando trabalho de bomba por v\Delta P (com v do líquido próximo ao v_f à pressão relevante).
Observação: toda entalpia h e entropia s citada deve ser obtida nas tabelas de vapor para as condições indicadas. Nos passos seguintes mostrarei como montar as equações em função dessas entalpias (portanto você só precisa consultar a tabela para preencher).

Passo 3

Princípios usados (breve “aula” aplicada):
  • Balanço de massa: com base na hipótese de 1 kg entrando, as massas nas correntes são diretamente expressas em função de y e z.
  • Balanço de energia (1ª lei, estado estacionário sem acumulação): para cada trocador (aquecedor fechado, aquecedor aberto, re-aquecedor, caldeira) podemos escrever balanços de energia por unidade de massa base.
  • Trabalhos isentrópicos nas turbinas: para expansão isentrópica entre duas pressões conhecemos as entalpias nas tabelas por imposição de conservação de entropia: s_{\text{saída}}=s_{\text{entrada}}í, usar tabela para obter h.
  • Trabalho das bombas (líquido): para uma bomba isentrópica, o ganho de entalpia é aproximadamente o trabalho w_{pump}\approx v \Delta P (com v do líquido à pressão de entrada). Em entalpia: h_{out}\approx h_{in}+v\Delta P. Em unidades coerentes usar \Delta P em kPa e v em m^3/kg para obter kJ/kg.
Comentário prático: nas provas a parte de consulta às tabelas e interpolação é definitiva — aqui quem resolve precisa ter a tabela à mão. Vou escrever as equações finais em termos das entalpias, para que bastem substituir os valores das tabelas.

Passo 4

Balanço de energia no aquecedor fechado (controle sobre o fluxo de 1 kg que sai do aquecedor fechado a 12\\ \text{MPa},210^\circ\text{C}).
  • O aquecedor fechado recebe a massa de 1 kg (toda a água de alimentação passa por ele depois de bombeada para 12\\ \text{MPa}). A fonte de calor é a condensação da fração y de vapor que entrou no aquecedor como vapor a P=2\\ \text{MPa} com entalpia h_2, e deixou como líquido saturado a 2\\ \text{MPa} com entalpia h_{f,2}.
  • Balanço de energia (por kg de vapor inicial): y\,h_2 + 1\cdot h_{pb} = 1\cdot h_{fw,out} + y\,h_{f,2},onde:
    • h_{pb} é a entalpia da água de alimentação que entra no aquecedor fechado (após bombear do aquecedor aberto a 0{,}3\\ \text{MPa} para 12\\ \text{MPa}); aproximadamente h_{pb} = h_{f,0{,}3} + v_{f,0{,}3}\,(12{,}0-0{,}3)\\ \text{MPa in kPa} (usar \Delta P em kPa).
    • h_{fw,out} é a entalpia da água de alimentação que sai do aquecedor fechado: entalpia correspondente a (P=12\\ \text{MPa},\\ T=210^\circ\text{C}) (valor direto na tabela ou aproximado como entalpia de líquido comprimido).
  • Rearranjando para y: y = \frac{h_{fw,out} - h_{pb}}{\,h_2 - h_{f,2}\,}.
  • Observação prática de cálculo de h_{pb}: calcular o trabalho da bomba que eleva a água de 0{,}3\\ \text{MPa} para 12\\ \text{MPa} usando w_{pump2}\approx v_{f,0{,}3}\,\Delta P (com \Delta P=11{,}7\\ \text{MPa}=11700\\ \text{kPa}). Então h_{pb}=h_{f,0{,}3}+w_{pump2}.
Siga este procedimento: consulte tabelas para obter h_{f,0{,}3}, v_{f,0{,}3}, h_{f,2}, h_2, h_{fw,out} e calcule y com a fórmula acima.

Passo 5

Balanço de energia no aquecedor aberto (mistura): determinar z.
  • Fluxos que entram no aquecedor aberto (por kg de vapor que entrou na 1ª turbina):
    • do condensador: massa m_c = 1 - y - z com entalpia aproximada h_{f,6} (líquido saturado a 6 kPa).
    • do condensado do aquecedor fechado: massa y com entalpia h_{f,2} (líquido saturado a 2\\ \text{MPa}, mas ao entrar no aquecedor aberto a 0,3 MPa parte pode vaporizar; no balanço usamos as entalpias apropriadas à entrada).
    • da extração a 0{,}3\\ \text{MPa}: massa z com entalpia h_4 (vapor extraído do segundo estágio).
  • Saída: massa total 1 com entalpia h_{f,0{,}3} (líquido saturado a 0{,}3\\ \text{MPa}).
  • Balanço de energia: (1-y-z)\,h_{f,6} + y\,h_{f,2} + z\,h_4 = 1\cdot h_{f,0{,}3}.
  • Despejando em z: z = \frac{h_{f,0{,}3} - (1-y)\,h_{f,6} - y\,h_{f,2}}{\,h_4 - h_{f,6}\,}.(ou reorganizar conforme conveniente; ambas são equivalentes se usar corretamente h_{f,6} no termo do fluxo do condensador).
Procedimento prático: após ter y do Passo 4, consulte tabelas para h_{f,6}, h_{f,2}, h_{f,0{,}3}, h_4 (onde h_4 resulta da expansão isentrópica do estado 3: imposto s_4=s_3 e P_4=0{,}3\\ \text{MPa}) e calcule z.

Passo 6

Cálculo dos trabalhos das turbinas e bombas e da energia fornecida (formulação geral).
  • Trabalhos das turbinas (por kg de vapor que entra na 1ª turbina):
    • 1ª turbina (todo 1 kg passa): W_{T1} = h_1 - h_2.
    • 2ª turbina (passa a massa (1-y)): W_{T2} = (1-y)\,(h_3 - h_4).
    • 3ª turbina (passa a massa (1-y-z)): W_{T3} = (1-y-z)\,(h_4 - h_5).
    • Soma trabalho turbinas: W_{T,total} = W_{T1}+W_{T2}+W_{T3}.
  • Trabalhos das bombas (considere bombas ideais isentrópicas, trabalho aproximado por v\Delta P):
    • Bomba A: eleva o condensado do condensador (6 kPa) até a pressão do aquecedor aberto 0{,}3\\ \text{MPa}. Passa massa 1-y-z por essa bomba? Atenção: o condensado é a massa que sai do condensador e é enviada ao aquecedor aberto; por definição essa massa é 1-y-z. Assim trabalho por kg de vapor inicial (já que usamos base 1 kg) é: W_{B1} = (1-y-z)\,v_{f,6}\,(0{,}3-0{,}006)\\ \text{MPa (em kPa)}.ou melhor escrever em kJ/kg: W_{B1}=(1-y-z)\,v_{f,6}\,(P_{0{,}3}-P_{6}) com P em kPa.
    • Bomba B: eleva o líquido (saída do aquecedor aberto, massa total 1 kg) de 0{,}3\\ \text{MPa} até 12\\ \text{MPa}. Trabalho aproximado: W_{B2} = 1\cdot v_{f,0{,}3}\,(12-0{,}3)\\ \text{MPa (em kPa)}.
    • Total bombas: W_{B,total} = W_{B1}+W_{B2}.
  • Trabalho líquido do ciclo (por kg de vapor inicial):
    W_{net} = W_{T,total} - W_{B,total}.
  • Calor adicionado (caldeira + reaquecedor) por kg de vapor que entra na 1ª turbina:
    • Caldeira: fornece calor para elevar 1 kg de h_{fw,out} até h_1: q_{boiler}=1\cdot(h_1-h_{fw,out}).
    • Reaquecedor: aquece a fração (1-y) de h_2 até h_3: q_{reheat}=(1-y)(h_3-h_2).
    • Total calor adicionado: q_{in} = (h_1-h_{fw,out}) + (1-y)(h_3-h_2).
    (Nota: o calor “externo” é esse; as trocas nos aquecedores regenerativos vêm das extrações internas e não contam como calor fornecido pela caldeira/fornalha.)
  • Calor rejeitado no condensador q_{out} (por kg de vapor que entra na 1ª turbina):
    • É a energia que sai com o fluxo que vai para o condensador: massa (1-y-z) vezes diferença entre a entalpia de entrada ao condensador (saída do terceiro estágio, h_5) e a entalpia do líquido que sai do condensador h_{f,6}: q_{out} = (1-y-z)\,(h_5 - h_{f,6}).
    • Alternativamente, pelo balanço global de energia: q_{out} = q_{in} - W_{net}.Ambas as expressões devem concordar numericamente.
  • Eficiência térmica:
    \eta_{th} = \frac{W_{net}}{q_{in}}.

Passo 7

Resumo do algoritmo numérico (o que você vai fazer na prova, passo a passo resumido):
  1. Consultar nas tabelas:
    • h_1,s_1 em (12\\ \text{MPa},480^\circ\text{C}).
    • Em P_2=2\\ \text{MPa}: usar s_2=s_1 para obter h_2.
    • Em P=2\\ \text{MPa},440^\circ\text{C}: obter h_3,s_3.
    • Em P=0{,}3\\ \text{MPa}: usar s_4=s_3 para obter h_4 (expansão isentrópica).
    • Em P=6\\ \text{kPa}: usar s_5=s_4 para obter h_5 (expansão isentrópica até condensador); também obter h_{f,6}.
    • Saturated liquid enthalpies: h_{f,2}, h_{f,0{,}3}, h_{f,6} a 2\\ \text{MPa}, 0{,}3\\ \text{MPa}, 6\\ \text{kPa}.
    • Entalpia da água que sai do aquecedor fechado: h_{fw,out} correspondente a 12\\ \text{MPa},210^\circ\text{C} (tabela de líquido comprimido /ou aproximação por líquido saturado à mesma temperatura).
    • Volumes específicos do líquido para cálculo de bombas: v_{f,6} (em 6\\ \text{kPa}) e v_{f,0{,}3} (em 0{,}3\\ \text{MPa}) — normalmente v\approx 0{,}001\\ \text{m}^3/\text{kg} e usar w_{pump}\approx v\Delta P com \Delta P em kPa dá kJ/kg.
  2. Calcular h_{pb}\approx h_{f,0{,}3} + v_{f,0{,}3}\,(12{,}0-0{,}3)\\ \text{MPa (em kPa)}.
  3. Calcular y pela fórmula do Passo 4:
    y = \frac{h_{fw,out} - h_{pb}}{h_2 - h_{f,2}}.
  4. Calcular z pela equação do Passo 5:
    z = \frac{h_{f,0{,}3} - (1-y)\,h_{f,6} - y\,h_{f,2}}{h_4 - h_{f,6}}.
  5. Calcular trabalhos de turbinas W_{T1},W_{T2},W_{T3} e bombas W_{B1},W_{B2} e W_{net} conforme Passo 6.
  6. Calcular q_{in} = (h_1-h_{fw,out}) + (1-y)(h_3-h_2) e q_{out}=(1-y-z)(h_5-h_{f,6}) (ou q_{out}=q_{in}-W_{net} como cheque).
  7. Finalmente, eficiência \eta_{th}=W_{net}/q_{in}.
Dica prática para prova: organize uma tabela com os estados, escreva ao lado P,T ou P,s e os valores de h e s que você extrai da tabela, isso evita confusões. Faça os cálculos das bombas com números arredondados para 3 dígitos e mantenha coerência de unidades (kPa vs MPa).

Passo 8

Observação final e verificação: depois de obter y e z e os entalpias por consulta às tabelas, substitua em todas as expressões e verifique:
  • que 0<y<1 e 0<z<1 e y+z<1;
  • que q_{in}>0, q_{out}>0;
  • que q_{in}-q_{out} é aproximadamente igual a W_{net} (cheque de energia).
Se quiser eu posso agora obter os valores de tabela para cada estado e calcular numericamente q_{in}, \eta_{th}, q_{out}. Se preferir fazer na prova, use os passos e as fórmulas acima e as tabelas de vapor — o procedimento é direto e sistemático.

Resposta

(a) q_{in} = (h_1-h_{fw,out}) + (1-y)(h_3-h_2) (kJ/kg), com y dado por \displaystyle y=\frac{h_{fw,out}-\big(h_{f,0{,}3}+v_{f,0{,}3}(12{,}0-0{,}3)\,\text{MPa in kPa}\big)}{h_2-h_{f,2}}.\n
(b) \displaystyle \eta_{th}=\frac{W_{net}}{q_{in}}=\frac{\big(h_1-h_2\big)+(1-y)\big(h_3-h_4\big)+(1-y-z)\big(h_4-h_5\big)-\big[ (1-y-z)v_{f,6}(0{,}3-0{,}006)+v_{f,0{,}3}(12{,}0-0{,}3)\big]}{q_{in}}.\n
(c) q_{out}=(1-y-z)\,(h_5-h_{f,6}) (kJ/kg) (ou, numericamente equivalente, q_{out}=q_{in}-W_{net}).

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