6)Um cilindro de 0,01 \mathrm{~m}^{3} contém nitrogênio inicialmente a pressão de 200 bar e 250 K está conectado a um outro cilindro de 0,005 \mathrm{~m}^{3} ,que está inicialmente evacuado.Uma válvula entre os dois cilindros é aberta até que as pressões nos dois cilindros se igualem.Encontre a temperatura e a pressão final em cada cilindro,sabendo que não existe fluxo de calor para dentro ou para fora do cilindro.Você pode assumir que não existe transferência de calor entre o gás e as paredes do cilindro e que o gás é ideal com \mathrm{Cp}^{*}=30 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \mathrm{K}

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Volume do cilindro 1: V_1=0{,}01\\ \mathrm{m^3}.
  • Pressão inicial no cilindro 1: p_1=200\\ \mathrm{bar}.
  • Temperatura inicial no cilindro 1: T_1=250\\ \mathrm{K}.
  • Volume do cilindro 2: V_2=0{,}005\\ \mathrm{m^3}.
  • Cilindro 2 está inicialmente evacuado, ou seja, p_{2,{\rm init}}=0.
  • A válvula é aberta e os dois cilindros isolados trocam gás até as pressões se igualarem.
  • Não há fluxo de calor entre sistema e vizinhança (adiabático) e não há transferência de calor entre gás e paredes.
  • O gás é ideal e foi dado \mathrm{C_p}^*=30\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
O que o enunciado pede:
  • Encontrar a temperatura final em cada cilindro (que será a mesma) e a pressão final em cada cilindro (idem).
Observação: vou usar a constante dos gases ideais \;R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} e a conversão 1\\ \mathrm{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Não há imagens.

Passo 2

Entendimento físico qualitativo e justificativa do método.
Quando a válvula é aberta o gás flui de um volume para o outro até igualização da pressão. O sistema (os dois cilindros juntos) é isolado termicamente e mecanicamente (paredes rígidas, volumes fixos), logo não há troca de calor com o exterior nem trabalho de fronteira realizado para fora. Aplicando a primeira lei da termodinâmica ao sistema fechado (os dois volumes juntos):
\Delta U = Q - W.
Aqui Q=0 (adiabático) e W=0 (não há trabalho de deslocamento do sistema sobre o ambiente porque os volumes são rígidos), portanto
\Delta U = 0.
Para um gás ideal a energia interna depende somente da temperatura. Assim, se \Delta U=0 então a variação de temperatura do gás é zero, ou seja a temperatura final é igual à inicial:
T_{\rm final}=T_{1}=250\\ \mathrm{K}.
Breve explicação alternativa (útil para prova): pode-se usar \Delta U = n C_V \Delta T. Como \Delta U=0 e C_V>0, segue \Delta T=0. Note que C_V pode ser obtido por C_V=C_p-R. Como foi dado C_p^*=30\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}, então
C_V = 30 - 8{,}314 = 21{,}686\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},
mas não precisamos do valor numérico de C_V para concluir que \Delta T=0.

Passo 3

Conservação do número de mols e cálculo da pressão final usando a lei dos gases ideais.
Como o cilindro 2 estava evacuado, todo o número de mols existente inicialmente está em V_1. O número de mols inicial é
n = \frac{p_1 V_1}{R T_1}.
Após abrir a válvula os mols permanecem os mesmos (não há fugas), e o gás ocupa o volume total
V_{\rm total}=V_1+V_2=0{,}01+0{,}005=0{,}015\\ \mathrm{m^3}.
A temperatura final é T_{\rm final}=T_1. Pela lei dos gases ideais, a pressão final é
p_{\rm final}=\frac{n R T_{\rm final}}{V_{\rm total}}.
Substituindo n=\dfrac{p_1 V_1}{R T_1} e T_{\rm final}=T_1 obtém-se uma expressão simplificada (muito prática para prova):
p_{\rm final}=\frac{p_1 V_1}{V_{\rm total}}.
Isso evita cálculo intermediário de n se quiser fazer direto.

Passo 4

Conversões e cálculo numérico passo a passo.
Primeiro converter p_1 para pascal:
p_1=200\\ \mathrm{bar}=200\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}=2{,}0\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Calcular p_1 V_1:
p_1 V_1 = 2{,}0\times10^{7}\cdot0{,}01 = 2{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa\cdot m^3}.
Dividir pelo volume total V_{\rm total}=0{,}015\\ \mathrm{m^3}:
p_{\rm final}=\frac{2{,}0\times10^{5}}{0{,}015}=1{,}3333\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Converter para bar (dividindo por 10^{5}):
p_{\rm final}= \frac{1{,}3333\times10^{7}}{10^{5}}=133{,}33\\ \mathrm{bar}.
Para fins didáticos, calculei também o número de mols inicial (não obrigatório):
n=\frac{p_1 V_1}{R T_1}=\frac{2{,}0\times10^{5}}{8{,}314\cdot250}=\frac{2{,}0\times10^{5}}{2{,}078{,}5}\approx96{,}24\\ \mathrm{mol}.
Verificação rápida usando p_{\rm final}=n R T_{\rm final}/V_{\rm total} dá exatamente o mesmo resultado numérico.

Passo 5

Interpretação final e observações para a prova (dicas rápidas).
  • Resultado intuitivo: quando dois volumes rígidos são conectados e o sistema é isolado, a temperatura do gás ideal não muda com a expansão livre; apenas a pressão cai porque o mesmo número de mols ocupa um volume maior.
  • Uso prático na prova: ao ver “cilindros rígidos, sistema isolado, gás ideal” deve soar no seu cérebro: “ΔU=0 → ΔT=0 → use proporção de volumes para achar pressão final”.
  • O dado C_p^* serviu só para mostrar como obter C_V se fosse necessário, mas não foi necessário para a resposta final além de confirmar a consistência.

Resposta

T_{\rm final}=250\\ \mathrm{K}
p_{\rm final}=1{,}3333\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}=133{,}33\\ \mathrm{bar}

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