6)Um cilindro de
contém nitrogênio inicialmente a pressão de 200 bar e 250 K está conectado a um outro cilindro de
,que está inicialmente evacuado.Uma válvula entre os dois cilindros é aberta até que as pressões nos dois cilindros se igualem.Encontre a temperatura e a pressão final em cada cilindro,sabendo que não existe fluxo de calor para dentro ou para fora do cilindro.Você pode assumir que não existe transferência de calor entre o gás e as paredes do cilindro e que o gás é ideal com
.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
- Volume do cilindro 1:
. - Pressão inicial no cilindro 1:
. - Temperatura inicial no cilindro 1:
. - Volume do cilindro 2:
. - Cilindro 2 está inicialmente evacuado, ou seja,
. - A válvula é aberta e os dois cilindros isolados trocam gás até as pressões se igualarem.
- Não há fluxo de calor entre sistema e vizinhança (adiabático) e não há transferência de calor entre gás e paredes.
- O gás é ideal e foi dado
.
O que o enunciado pede:
- Encontrar a temperatura final em cada cilindro (que será a mesma) e a pressão final em cada cilindro (idem).
Observação: vou usar a constante dos gases ideais
e a conversão
. Não há imagens.
Passo 2
Entendimento físico qualitativo e justificativa do método.
Quando a válvula é aberta o gás flui de um volume para o outro até igualização da pressão. O sistema (os dois cilindros juntos) é isolado termicamente e mecanicamente (paredes rígidas, volumes fixos), logo não há troca de calor com o exterior nem trabalho de fronteira realizado para fora. Aplicando a primeira lei da termodinâmica ao sistema fechado (os dois volumes juntos):
Aqui
(adiabático) e
(não há trabalho de deslocamento do sistema sobre o ambiente porque os volumes são rígidos), portanto
Para um gás ideal a energia interna depende somente da temperatura. Assim, se
então a variação de temperatura do gás é zero, ou seja a temperatura final é igual à inicial:
Breve explicação alternativa (útil para prova): pode-se usar
. Como
e
, segue
. Note que
pode ser obtido por
. Como foi dado
, então
mas não precisamos do valor numérico de
para concluir que
.
Passo 3
Conservação do número de mols e cálculo da pressão final usando a lei dos gases ideais.
Como o cilindro 2 estava evacuado, todo o número de mols existente inicialmente está em
. O número de mols inicial é
Após abrir a válvula os mols permanecem os mesmos (não há fugas), e o gás ocupa o volume total
A temperatura final é
. Pela lei dos gases ideais, a pressão final é
Substituindo
e
obtém-se uma expressão simplificada (muito prática para prova):
Isso evita cálculo intermediário de
se quiser fazer direto.
Passo 4
Conversões e cálculo numérico passo a passo.
Primeiro converter
para pascal:
Calcular
:
Dividir pelo volume total
:
Converter para bar (dividindo por
):
Para fins didáticos, calculei também o número de mols inicial (não obrigatório):
Verificação rápida usando
dá exatamente o mesmo resultado numérico.
Passo 5
Interpretação final e observações para a prova (dicas rápidas).
- Resultado intuitivo: quando dois volumes rígidos são conectados e o sistema é isolado, a temperatura do gás ideal não muda com a expansão livre; apenas a pressão cai porque o mesmo número de mols ocupa um volume maior.
- Uso prático na prova: ao ver “cilindros rígidos, sistema isolado, gás ideal” deve soar no seu cérebro: “ΔU=0 → ΔT=0 → use proporção de volumes para achar pressão final”.
- O dado
serviu só para mostrar como obter se fosse necessário, mas não foi necessário para a resposta final além de confirmar a consistência.