SAO DADAS AS MEDIDAS:
\begin{aligned} & A=3,43 \pm 0,05 ; \\\ & B=0,046 \pm 0,002 ; \\\ & C=66,23 \pm 0,03 ; \\\ & D=2,0045 \pm 0,0005 . \end{aligned}
EFETUE:
\sqrt{A+C}

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes medições (peguei os valores diretamente do enunciado):
\begin{aligned} & A=3,43 \pm 0,05,\\[4pt] & B=0,046 \pm 0,002,\\[4pt] & C=66,23 \pm 0,03,\\[4pt] & D=2,0045 \pm 0,0005. \end{aligned}
A tarefa é calcular:
\sqrt{A+C}.
Observações iniciais:
  • Das quantidades dadas só são necessárias A e C para formar A+C. Os valores de B e D não serão usados neste cálculo.
  • Cada medida tem uma incerteza associada (valor \pm desvio). Será preciso propagar essas incertezas para obter a incerteza final em \sqrt{A+C}.]

Passo 2

Calcular primeiro a soma x=A+C e a incerteza associada a x.
Quando somamos ou subtraímos quantidades medidas, as incertezas absolutas, assumindo erros independentes, combinam-se pela soma das variâncias (adição em quadratura). A fórmula é:
\sigma_x=\sqrt{\sigma_A^{2}+\sigma_C^{2}},
onde \sigma_A é a incerteza absoluta de A e \sigma_C a de C.
Aplicando os números fornecidos:
x=A+C=3,43+66,23=69,66.
As incertezas são \sigma_A=0,05 e \sigma_C=0,03. Então
\sigma_x=\sqrt{(0,05)^{2}+(0,03)^{2}}=\sqrt{0,0025+0,0009}=\sqrt{0,0034}\approx 0,058309\ldots

Passo 3

Agora precisamos obter y=\sqrt{x} e propagar a incerteza de x para y.
Regra de propagação (linearização): se y=f(x) e x tem incerteza \sigma_x pequena, então a incerteza em y é aproximada por
\sigma_y=\left|\frac{dy}{dx}\right|\sigma_x,
onde \dfrac{dy}{dx} é a derivada de f em relação a x, avaliada no valor de x.
No nosso caso f(x)=\sqrt{x}. A derivada é
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2y}.
Portanto a incerteza em y é
\sigma_y=\frac{\sigma_x}{2\sqrt{x}}=\frac{\sigma_x}{2y}.

Passo 4

Calcular numericamente y e \sigma_y usando os valores encontrados.
Já temos x=69,66 e \sigma_x\approx 0,058309.
Calcule y:
y=\sqrt{x}=\sqrt{69,66}\approx 8,34626\ldots
Calcule \sigma_y pela fórmula:
\sigma_y=\frac{\sigma_x}{2y}=\frac{0,058309\ldots}{2\cdot 8,34626\ldots} \approx 0,003493\ldots
(Verificação rápida: 2y\approx 16,6925 e 0,058309/16,6925\approx0,003493.)

Passo 5

Arredondamento e apresentação com algarismos significativos.
Regras práticas comuns:
  • A incerteza geralmente é dada com uma ou duas cifras significativas (a escolha de uma ou duas é aceitável; explicar e escolher uma abordagem consistente).
  • O valor central é então apresentado com a mesma precisão decimal da incerteza.
Aqui obtivemos \sigma_y\approx 0,003493. Mantendo duas cifras significativas em \sigma_y temos \sigma_y\approx0,0035. Assim devemos apresentar y com quatro casas decimais (mesma posição decimal da incerteza):
y\approx 8,3463\quad\text{com}\quad\sigma_y\approx 0,0035.

Resposta

\sqrt{A+C}=8,3463\pm 0,0035

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