SAO DADAS AS MEDIDAS:
\begin{aligned} & A=3,43 \pm 0,05 ; \\\ & B=0,046 \pm 0,002 ; \\\ & C=66,23 \pm 0,03 ; \\\ & D=2,0045 \pm 0,0005 . \end{aligned}
EFETUE:
\frac{C^{3} D}{4 B^{2} A}

Passo 1

O enunciado fornece quatro medidas com suas incertezas e pede que eu efetue a expressão
\frac{C^{3} D}{4 B^{2} A}.
Dados (peguei todos estes números do enunciado):
\begin{aligned} & A=3,43 \pm 0,05,\\\ & B=0,046 \pm 0,002,\\\ & C=66,23 \pm 0,03,\\\ & D=2,0045 \pm 0,0005. \end{aligned}
O que vou entregar: o valor central (melhor estimativa) da expressão e a incerteza associada (propagação de erros), com passo a passo bem detalhado.

Passo 2

Calcular o numerador passo a passo: \,C^{3}D.
Primeiro calculemos C^{2}:
C^{2} = 66,23^{2} = 4386,4129.
Agora C^{3}:
C^{3} = C\cdot C^{2} = 66,23 \times 4386,4129 = 290512,1264.
Finalmente o numerador:
C^{3}D = 290512,1264 \times 2,0045 = 582331,5574.
(Em cada multiplicação mostrei o número intermediário com algumas casas para manter precisão; arredondarei só no resultado final da propagação.)

Passo 3

Calcular o denominador passo a passo: 4 B^{2} A.
Primeiro B^{2}:
B^{2} = 0,046^{2} = 0,002116.
Multiplicando por 4:
4B^{2} = 4 \times 0,002116 = 0,008464.
Multiplicando por A:
4B^{2}A = 0,008464 \times 3,43 = 0,02902952.

Passo 4

Calcular o valor nominal da expressão (valor central) dividindo numerador por denominador:
\frac{C^{3}D}{4B^{2}A} = \frac{582331,5574}{0,02902952} \approx 20058002{,}9.
Vou anotar esse valor como
f_{\text{nom}} \approx 2,00580029\times 10^{7}.

Passo 5

Explicar e aplicar a regra de propagação de incertezas (didático):
  • Para funções que são produto, quociente e potências de variáveis independentes, é muito prático usar a propagação relativa por diferenciação logarítmica. Se
f = C^{3}\,D\,(4B^{2}A)^{-1},
então a incerteza relativa aproximada satisfaz
\left(\frac{\Delta f}{f}\right)^{2} = \left(3\frac{\Delta C}{C}\right)^{2} + \left(\frac{\Delta D}{D}\right)^{2} + \left(2\frac{\Delta B}{B}\right)^{2} + \left(\frac{\Delta A}{A}\right)^{2}.
Observações:
  • O sinal do expoente (positivo ou negativo) não importa porque os termos entram ao quadrado.
  • Aqui \Delta X é a incerteza de X e X é o valor central.
Agora calculamos cada fração relativa usando os dados dados:
\frac{\Delta C}{C}=\frac{0,03}{66,23}\approx 0,0004525,
\frac{\Delta D}{D}=\frac{0,0005}{2,0045}\approx 0,0002496,
\frac{\Delta B}{B}=\frac{0,002}{0,046}\approx 0,0434783,
\frac{\Delta A}{A}=\frac{0,05}{3,43}\approx 0,0145773.
Agora os termos com os fatores dos expoentes:
3\frac{\Delta C}{C}\approx 3\times 0,0004525=0,0013575,
2\frac{\Delta B}{B}\approx 2\times 0,0434783=0,0869566.

Passo 6

Calcular a soma das variâncias relativas e a incerteza final.
Quadrados dos termos:
\left(3\frac{\Delta C}{C}\right)^{2}\approx (0,0013575)^{2}=1{,}843\times 10^{-6},
\left(\frac{\Delta D}{D}\right)^{2}\approx (0,0002496)^{2}=6{,}23\times 10^{-8},
\left(2\frac{\Delta B}{B}\right)^{2}\approx (0,0869566)^{2}=0{,}007561,
\left(\frac{\Delta A}{A}\right)^{2}\approx (0,0145773)^{2}=0{,}0002125.
Somando:
\left(\frac{\Delta f}{f}\right)^{2}\approx 1{,}843\times10^{-6}+6{,}23\times10^{-8}+0{,}007561+0{,}0002125 \approx 0{,}0077755.
Logo a incerteza relativa:
\frac{\Delta f}{f}\approx \sqrt{0{,}0077755}\approx 0{,}0882\quad(\text{ou }8{,}82\%).
A incerteza absoluta é
\Delta f = f_{\text{nom}}\times \frac{\Delta f}{f} \approx 2,00580029\times10^{7}\times 0{,}0882 \approx 1,769\times10^{6}.

Passo 7

Arredondamento e apresentação final (prática comum: arredondar a incerteza para 1 ou 2 algarismos significativos e igualar o arredondamento do valor central à mesma casa).
Aqui \Delta f\approx 1{,}769\times10^{6}. Tomando dois algarismos significativos para a incerteza: \Delta f \approx 1{,}8\times10^{6}. Então o valor central deve ser arredondado à casa dos 10^{5} (a mesma posição do segundo dígito significativo da incerteza). Assim podemos escrever de forma compacta e legível:
\frac{C^{3}D}{4B^{2}A} = (2,01 \pm 0,18)\times10^{7}.
Isto corresponde a 20{,}06\times10^{6}\pm 1{,}8\times10^{6}, i.e. aproximadamente 20{,}06\cdot 10^{6}\pm 1{,}8\cdot 10^{6}.

Resposta

\frac{C^{3}D}{4B^{2}A} = (2,01 \pm 0,18)\times10^{7}

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