90 Logo depois que a Terra se formou, o calor liberado pelo decaimento de elementos radioativos aumentou a temperatura interna média de 300 para 3000 K , valor que permanece até hoje. Supondo que o coeficiente de dilatação volumétrica médio é 3,0 times 10^-5 K^-1, de quanto o raio da Terra aumentou desde que o planeta se formou?

Passo 1

O enunciado pede para estimar o aumento do raio da Terra devido à expansão térmica volumétrica quando sua temperatura interna média subiu de 300~K para 3000~K. O conteúdo envolvido é dilatação térmica volumétrica de um sólido, cuja relação básica é De<a V/V = beta,De<a T, e depois ligar De<a V/V a De<a R/R sabendo que Vpropto R^3.

Passo 2

Para um corpo qualquer, o coeficiente de dilatação volumétrica beta dá a variação relativa do volume quando a temperatura muda em De<a T:
De<a VV = beta,De<a T

Passo 3

Como o volume da Terra é V=tfrac43pi R^3, uma pequena variação de raio De<a R produz
De<a VV = dVV = 3,dRRLongrightarrow De<a VVapprox 3,De<a RR

Passo 4

Igualando as duas expressões para De<a V/V, obtemos
3,De<a RR = beta,De<a T Longrightarrow De<a R = beta,De<a T3;R

Passo 5

Agora basta inserir os valores numéricos:
beta = 3,0times10^-5,K^-1,
De<a T = 3000 - 300 = 2700,K,
e R approx 6,4times10^6,m.
De<a R = 3,0times10^-5times27003;times6,4times10^6 = 6,4times10^6times2,7times10^-2 approx1,73times10^5;m

Passo 6

Convertendo para quilômetros, temos
De<a R approx 1,73times10^5,m = 173;km

Resposta

O raio da Terra aumentou cerca de 1,7times10^5 m, ou seja, aproximadamente 170 km.

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