Admitindo que U é uma função de P e V, deduza as seguintes equações:
(partial Upartial V)P=CPV beta-P

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que deduzir uma equação envolvendo a função interna de energia , que depende de (pressão) e (volume). Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, como derivadas parciais, capacidade calorífica a pressão constante ( ) e o coeficiente de expansão térmica ( ).

Passo 2

Primeiro, lembra que a energia interna dU = (partial Upartial V)P dV + (partial Upartial P)V dP pode ser expressa em termos de suas variáveis naturais, que nesse caso são e . A variação total de pode ser escrita como:

Passo 3

Mas também sabemos, da primeira lei da termodinâmica, que:
dU = T dS - P dV
Onde (partial Upartial V)P = T (partial Spartial V)P - P é a temperatura e é a entropia. Comparando as duas expressões para , podemos identificar que:

Passo 4

Agora, precisamos expressar CP = T (partial Spartial T)P em termos de beta = 1V (partial Vpartial T)P e (partial Spartial V)P = CPV beta T . Sabemos que a capacidade calorífica a pressão constante é:
E o coeficiente de expansão térmica é:
Usando a relação de Maxwell e manipulações termodinâmicas, podemos relacionar essas grandezas para obter:

Passo 5

Substituindo essa expressão de volta na equação que tínhamos para (partial Upartial V)P = T (CPV beta T) - P :
(partial Upartial V)P = CPV beta - P
Simplificando, o cancela:

Resposta

(partial Upartial V)P = CPV beta - P

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