Para um determinado gás a equação da curva adiabática que passa pelo ponto de referência (V0^prime, P0) é P V^5 / 3=P0 V0^5 / 3. Além disso, o calor introduzido de forma quase estática, a volume constante, entre os pontos (V, P 1) e (V, P) é QV=32(P-P1) V. Determine a energia interna como função de V e P.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um gás que segue uma curva adiabática passando pelo ponto de referência (V0', P0), dada pela equação P V^5/3 = P0 V0^5/3. Além disso, quando a gente adiciona calor de forma quase estática no volume constante entre dois pontos (V, P1) e (V, P), o calor introduzido é QV = 32(P - P1)V. Nosso objetivo é descobrir a energia interna U do gás como uma função de V e P. Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente a primeira lei da termodinâmica e as propriedades dos processos adiabáticos e isocóricos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a primeira lei da termodinâmica, que diz que a variação da energia interna De é igual ao calor Q adicionado ao sistema menos o trabalho W realizado pelo sistema:
De
Como estamos lidando com processos a volume constante (isocóricos), o trabalho realizado é zero porque W = P De e De. Então, para processos a volume constante:
De

Passo 3

Agora, observamos que a essa volume constante, o calor QV é dado por:
QV = 32(P - P1)V
Segundo a relação acima, essa quantidade de calor introduzida resulta em uma variação da energia interna:
De

Passo 4

Vamos considerar que a energia interna U depende apenas da temperatura para gases ideais, mas aqui queremos U em função de V e P. Como QV está relacionado com a variação de energia interna, podemos integrar essa expressão para encontrar U(V,P).
Assumindo que P1 é uma pressão de referência onde U = 0, integramos a equação:
U = 32PV + C
Onde C é a constante de integração. Como em P = P1, U = 0, temos C = -32P1 V.

Passo 5

Então, substituindo C na expressão de U, temos:
U = 32PV - 32P1 V
Simplificando, podemos escrever:
U = 32V(P - P1)

Resposta

A energia interna U em função de V e P é:
U = 32 V (P - P1)

Exercícios relacionados