Para um determinado gás a equação da curva adiabática que passa pelo ponto de referência
é
. Além disso, o calor introduzido de forma quase estática, a volume constante, entre os pontos
e
é
. Determine a energia interna como função de
e
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um gás que segue uma curva adiabática passando pelo ponto de referência
, dada pela equação
. Além disso, quando a gente adiciona calor de forma quase estática no volume constante entre dois pontos
e
, o calor introduzido é
. Nosso objetivo é descobrir a energia interna
do gás como uma função de
e
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente a primeira lei da termodinâmica e as propriedades dos processos adiabáticos e isocóricos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a primeira lei da termodinâmica, que diz que a variação da energia interna
é igual ao calor
adicionado ao sistema menos o trabalho
realizado pelo sistema:
Como estamos lidando com processos a volume constante (isocóricos), o trabalho realizado é zero porque
e
. Então, para processos a volume constante:
Passo 3
Agora, observamos que a essa volume constante, o calor
é dado por:
Segundo a relação acima, essa quantidade de calor introduzida resulta em uma variação da energia interna:
Passo 4
Vamos considerar que a energia interna
depende apenas da temperatura para gases ideais, mas aqui queremos
em função de
e
. Como
está relacionado com a variação de energia interna, podemos integrar essa expressão para encontrar
.
Assumindo que
é uma pressão de referência onde
, integramos a equação:
Onde
é a constante de integração. Como em
,
, temos
.
Passo 5
Então, substituindo
na expressão de
, temos:
Simplificando, podemos escrever:
Resposta
A energia interna
em função de
e
é: