Considerando que a energia interna de um sistema hidrostático seja uma função de T e P, deduza as equações:
d Q=[(partial Upartial theta)P+P(partial Vpartial theta)P] d theta+[(partial Upartial P)theta+P(partial Vpartial P)theta] d P

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a energia interna de um sistema hidrostático depende da temperatura e da pressão . Nosso objetivo é deduzir uma expressão para a quantidade de calor em termos das variações de e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como derivadas parciais e a primeira lei da termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia interna dU = (partial Upartial theta)P dtheta + (partial Upartial P)theta dP é uma função de e , ou seja, . Para encontrar a variação total de , usamos a derivada total:
Aqui, é a derivada parcial de em relação a mantendo constante, e é a derivada parcial de em relação a mantendo constante.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a primeira lei da termodinâmica, que relaciona a variação de energia interna dU = dQ - dW , a quantidade de calor dQ = dU + dW e o trabalho realizado :
Queremos encontrar , então vamos reorganizar a equação:

Passo 4

Em um sistema hidrostático, o trabalho realizado pela pressão dW = P dV ao variar o volume dQ = dU + P dV é dado por:
Portanto, substituindo na equação anterior:

Passo 5

Agora, precisamos expressar dV = (partial Vpartial theta)P dtheta + (partial Vpartial P)theta dP em termos de e . Como é uma função de e , temos:

Passo 6

Substituindo dQ = (partial Upartial theta)P dtheta + (partial Upartial P)theta dP + P [ (partial Vpartial theta)P dtheta + (partial Vpartial P)theta dP ] e nas equações de :

Passo 7

Distribuindo o termo dQ = (partial Upartial theta)P dtheta + (partial Upartial P)theta dP + P (partial Vpartial theta)P dtheta + P (partial Vpartial P)theta dP nos parênteses:

Passo 8

Agora, vamos agrupar os termos que multiplicam dQ = [ (partial Upartial theta)P + P (partial Vpartial theta)P ] dtheta + [ (partial Upartial P)theta + P (partial Vpartial P)theta ] dP e os que multiplicam :

Resposta

Portanto, a expressão deduzida para dQ = [ (partial Upartial theta)P + P (partial Vpartial theta)P ] dtheta + [ (partial Upartial P)theta + P (partial Vpartial P)theta ] dP é:

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