Considerando que a energia interna de um sistema hidrostático seja uma função de T e P, deduza as equações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a energia interna
de um sistema hidrostático depende da temperatura
e da pressão
. Nosso objetivo é deduzir uma expressão para a quantidade de calor
em termos das variações de
e
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como derivadas parciais e a primeira lei da termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia interna
é uma função de
e
, ou seja,
. Para encontrar a variação total de
, usamos a derivada total:
Aqui,
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
constante, e
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
constante.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a primeira lei da termodinâmica, que relaciona a variação de energia interna
, a quantidade de calor
e o trabalho realizado
:
Queremos encontrar
, então vamos reorganizar a equação:
Passo 4
Em um sistema hidrostático, o trabalho realizado pela pressão
ao variar o volume
é dado por:
Portanto, substituindo na equação anterior:
Passo 5
Agora, precisamos expressar
em termos de
e
. Como
é uma função de
e
, temos:
Passo 6
Substituindo
e
nas equações de
:
Passo 7
Distribuindo o termo
nos parênteses:
Passo 8
Agora, vamos agrupar os termos que multiplicam
e os que multiplicam
:
Resposta
Portanto, a expressão deduzida para
é: