Água escoa em regime permanente através de um tubo de comprimento L, cujo raio na entrada é de Re=7 cm e em seguida se expande na saída para o raio Rs=14 cm. Sabendo que a velocidade máxima na saída é u maxs =5 m / s, (a) calcule a velocidade máxima na entrada do tubo ( u máxc á ), se a distribuição de velocidade nas seções de entrada e saída é dada pela equação abaixo. (b) Quais serão as vazões volumétricas máximas de água na
uumax =1-r^2R^2

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre o escoamento de água em regime permanente através de um tubo que muda de raio. Na entrada do tubo, o raio é de cm e na saída ele se expande para cm. Sabemos que a velocidade máxima na saída é m/s. Precisamos calcular duas coisas:
a) A velocidade máxima na entrada do tubo ( á).
b) As vazões volumétricas máximas de água.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de massa e distribuição de velocidade no escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que em regime permanente, a vazão volumétrica Q = integralárea u , dA deve ser a mesma em qualquer seção do tubo. A vazão é dada por:
uumax = 1 - r^2R^2 á
Mas como a distribuição de velocidade é fornecida, podemos simplificar a integração.
A distribuição de velocidade é:
Isso significa que a velocidade varia de no centro para 0 nas paredes do tubo.

Passo 3

Vamos calcular a vazão volumétrica u = umax (1 - r^2R^2) para uma seção qualquer do tubo. Em coordenadas polares, o elemento de área é Q = integral0^R u , dA = integral0^R umax (1 - r^2R^2) 2pi r , dr . Substituindo a distribuição de velocidade:
Q = 2pi umax integral0^R (r - r^3R^2) dr = 2pi umax ( R^22 - R^24 ) = pi R^2 umax2
Então:
Resolvendo essa integral:

Passo 4

Agora que temos a expressão para Q = pi R^2 umax2 :
pi Re^2 umáxc2 = pi Rs^2 umaxs2
Como a vazão é a mesma na entrada e na saída:
Re^2 umáxc = Rs^2 umaxs á
Podemos simplificar umáxc = Rs^2Re^2 umaxs e 2:
umáxc = (14, cm)^2(7, cm)^2 times 5, m/s = 19649 times 5, m/s = 4 times 5, m/s = 20, m/s á
Isolando á:
á
Substituindo os valores:
á

Resposta

a) A velocidade máxima na entrada do tubo é á m/s.

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