Água escoa em regime permanente através de um tubo de comprimento L, cujo raio na entrada é de
e em seguida se expande na saída para o raio
. Sabendo que a velocidade máxima na saída é
, (a) calcule a velocidade máxima na entrada do tubo (
), se a distribuição de velocidade nas seções de entrada e saída é dada pela equação abaixo. (b) Quais serão as vazões volumétricas máximas de água na
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre o escoamento de água em regime permanente através de um tubo que muda de raio. Na entrada do tubo, o raio é de
cm e na saída ele se expande para
cm. Sabemos que a velocidade máxima na saída é
m/s. Precisamos calcular duas coisas:
a) A velocidade máxima na entrada do tubo ( ).
b) As vazões volumétricas máximas de água.
a) A velocidade máxima na entrada do tubo (
b) As vazões volumétricas máximas de água.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de massa e distribuição de velocidade no escoamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que em regime permanente, a vazão volumétrica
deve ser a mesma em qualquer seção do tubo. A vazão é dada por:
Mas como a distribuição de velocidade é fornecida, podemos simplificar a integração.
A distribuição de velocidade é:
Isso significa que a velocidade varia de
no centro para 0 nas paredes do tubo.
Passo 3
Vamos calcular a vazão volumétrica
para uma seção qualquer do tubo. Em coordenadas polares, o elemento de área é
. Substituindo a distribuição de velocidade:
Então:
Resolvendo essa integral:
Passo 4
Agora que temos a expressão para
:
Como a vazão é a mesma na entrada e na saída:
Podemos simplificar
e 2:
Isolando
:
Substituindo os valores:
Resposta
a) A velocidade máxima na entrada do tubo é
m/s.