Um ajuste polinomial dos dados de volume total de uma mistura binária de A e B é
v=778,55-22,5749 x+0,56892 x^2+0,01023 x^3+0,00234 x^4
Em que v=V / cm^3, x=nB / mol e nB é o número de mols de B presentes. Determine o volume parcial molar de A e B.

Passo 1

Beleza, então o enunciado nos dá um polinômio para o volume total x = nB (em cm³) de uma mistura binária A + B, onde a variável
V(x) ;=; 778,55 ;-;22,5749,x ;+;0,56892,x^2 ;+;0,01023,x^3 ;+;0,00234,x^4
é o número de mols de B. O polinômio é
bar VB ;=;l(partial Vpartial nBr)T,P,nA e bar VA ;=;l(partial Vpartial nAr)T,P,nB
O conteúdo que vamos usar é Termodinâmica/Físico-Química: definição de volumes molares parciais, que são
Para achar esses caras, só precisamos derivar e usar a relação de Euler para variáveis extensivas.

Passo 2

Teoria rápida:
  1. Por definição, o volume molar parcial de B é
bar VB = l(partial Vpartial nBr)T,P,nA
  1. Como o enunciado dá bar VB(x) = dVdx = ddxl[778,55 -22,5749,x +0,56892,x^2 +0,01023,x^3 +0,00234,x^4r] só em função de e mantém fixo (supondo 1 mol de A, por exemplo), basta derivar em relação a .
Então façamos

Passo 3

Vamos derivar termo a termo:
  • Derivada de bar VB(x) = -22,5749 ;+;1,13784,x ;+;0,03069,x^2 ;+;0,00936,x^3 é 0.
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
Somando tudo:

Passo 4

Para o volume molar parcial de A, usamos a relação geral (Euler) para extensivos numa mistura de 2 componentes:
V = nA,bar VA + nB,bar VB
Aqui, bar VA = V - nB,bar VB = V(x) - x,bar VB(x) está fixo (assumimos 1 mol de A para montar o polinômio), então

Passo 5

Substituindo bar VA(x) = l[778,55 -22,5749,x +0,56892,x^2 +0,01023,x^3 +0,00234,x^4r] ;-; xl[-22,5749 +1,13784,x +0,03069,x^2 +0,00936,x^3r] e :
Basta eventualmente arrumar os termos, mas essa já é a expressão de .

Resposta

boxed bar VB(x) &= -22,5749 +1,13784,x +0,03069,x^2 +0,00936,x^3,[6pt] bar VA(x) &= l(778,55 -22,5749,x +0,56892,x^2 +0,01023,x^3 +0,00234,x^4r) ;-;xl(-22,5749 +1,13784,x +0,03069,x^2 +0,00936,x^3r)

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