Alunos do curso de Física inventaram uma escala termométrica que chamaram de escala
. Comparando-a com a escala Celsius, eles observaram que
correspondiam a
e
equivaliam a
. Que valores essa escala
assinalaria para os pontos fixos fundamentais? ( 2 pontos)
Passo 1
O enunciado dá duas correspondências entre as escalas
e Celsius:
A pergunta é: que valores a escala
atribui aos pontos fixos fundamentais, ou seja, aos pontos
Passo 2
Vou assumir que a relação entre as escalas é linear (isso é padrão para escalas termométricas: uma escala que preserva intervalos iguais com outra é dada por uma transformação afim). Então há constantes reais
e
tais que, para todo valor
na escala
,
onde
é a temperatura em graus Celsius correspondente. Aqui
é a inclinação (quanto em Celsius muda por unidade de
) e
é o deslocamento (o valor em Celsius quando
).
Passo 3
Usando as duas correspondências dadas obtemos um sistema para
e
. Substituindo
e
, temos as duas equações
Passo 4
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar
, calculamos
:
Logo
É útil transformar para decimal também:
. (Mas vamos preferir frações para manter exatidão.)
Passo 5
Agora encontramos
usando uma das equações. Usando
,
Escrevendo tudo sobre o mesmo denominador:
Em decimal,
.
Passo 6
Temos então a fórmula de conversão
Para encontrar
em função de
isolamos
:
Note que multiplicar por
é a mesma coisa que dividir por
.
Passo 7
Agora calculamos o valor de
quando
. Substituindo
na expressão anterior:
Simplificando os fatores:
Simplificando a fração por
:
Em decimal isso é aproximadamente
.
Passo 8
Agora calculamos
quando
. Substituindo
:
Colocando
sobre denominador
:
. Então
Multiplicando:
Simplificando por
:
Em decimal isso é aproximadamente
.
Passo 9
Resumo numérico e verificação rápida (opcional): a transformação encontrada é coerente com os pontos dados — se você substituir
ou
na fórmula
obtém
e
respectivamente. Portanto os valores para os pontos fixos são os obtidos acima.