Alunos do curso de Física inventaram uma escala termométrica que chamaram de escala \mathbf{J}. Comparando-a com a escala Celsius, eles observaram que -10^{\circ} \mathrm{J} correspondiam a 20^{\circ} \mathrm{C} e 54^{\circ} \mathrm{J} equivaliam a 80^{\circ} \mathrm{C}. Que valores essa escala \mathbf{J} assinalaria para os pontos fixos fundamentais? ( 2 pontos)

Passo 1

O enunciado dá duas correspondências entre as escalas \mathrm{J} e Celsius:
-10^\circ \mathrm{J} \longleftrightarrow 20^\circ \mathrm{C},
54^\circ \mathrm{J} \longleftrightarrow 80^\circ \mathrm{C}.
A pergunta é: que valores a escala \mathrm{J} atribui aos pontos fixos fundamentais, ou seja, aos pontos
0^\circ \mathrm{C}\quad\text{e}\quad 100^\circ \mathrm{C}?

Passo 2

Vou assumir que a relação entre as escalas é linear (isso é padrão para escalas termométricas: uma escala que preserva intervalos iguais com outra é dada por uma transformação afim). Então há constantes reais a e b tais que, para todo valor J na escala \mathrm{J},
C = aJ + b,
onde C é a temperatura em graus Celsius correspondente. Aqui a é a inclinação (quanto em Celsius muda por unidade de \mathrm{J}) e b é o deslocamento (o valor em Celsius quando J=0).

Passo 3

Usando as duas correspondências dadas obtemos um sistema para a e b. Substituindo -10^\circ \mathrm{J}\mapsto 20^\circ \mathrm{C} e 54^\circ \mathrm{J}\mapsto 80^\circ \mathrm{C}, temos as duas equações
20 = a(-10) + b,
80 = a(54) + b.

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar b, calculamos a:
80 - 20 = 54a - (-10)a \quad\Rightarrow\quad 60 = 64a.
Logo
a = \frac{60}{64} = \frac{15}{16}.
É útil transformar para decimal também: a = 0,9375. (Mas vamos preferir frações para manter exatidão.)

Passo 5

Agora encontramos b usando uma das equações. Usando 20 = -10a + b,
b = 20 + 10a = 20 + 10\cdot\frac{15}{16} = 20 + \frac{150}{16} = 20 + \frac{75}{8}.
Escrevendo tudo sobre o mesmo denominador:
20 = \frac{160}{8},\quad b = \frac{160}{8} + \frac{75}{8} = \frac{235}{8}.
Em decimal, b = 29{,}375.

Passo 6

Temos então a fórmula de conversão
C = \frac{15}{16}J + \frac{235}{8}.
Para encontrar J em função de C isolamos J:
J = \frac{C - \frac{235}{8}}{\frac{15}{16}} = \left(C - \frac{235}{8}\right)\cdot\frac{16}{15}.
Note que multiplicar por \frac{16}{15} é a mesma coisa que dividir por \frac{15}{16}.

Passo 7

Agora calculamos o valor de J quando C=0^\circ. Substituindo C=0 na expressão anterior:
J_{(0^\circ C)} = \left(0 - \frac{235}{8}\right)\cdot\frac{16}{15} = -\frac{235}{8}\cdot\frac{16}{15}.
Simplificando os fatores:
-\frac{235}{8}\cdot\frac{16}{15} = -\frac{235\cdot 2}{15} = -\frac{470}{15}.
Simplificando a fração por 5:
-\frac{470}{15} = -\frac{94}{3}.
Em decimal isso é aproximadamente -31{,}333\ldots.

Passo 8

Agora calculamos J quando C=100^\circ. Substituindo C=100:
J_{(100^\circ C)} = \left(100 - \frac{235}{8}\right)\cdot\frac{16}{15}.
Colocando 100 sobre denominador 8: 100=\frac{800}{8}. Então
100 - \frac{235}{8} = \frac{800-235}{8} = \frac{565}{8}.
Multiplicando:
\frac{565}{8}\cdot\frac{16}{15} = \frac{565\cdot 2}{15} = \frac{1130}{15}.
Simplificando por 5:
\frac{1130}{15} = \frac{226}{3}.
Em decimal isso é aproximadamente 75{,}333\ldots.

Passo 9

Resumo numérico e verificação rápida (opcional): a transformação encontrada é coerente com os pontos dados — se você substituir J=-10 ou J=54 na fórmula C=\frac{15}{16}J+\frac{235}{8} obtém 20^\circ\mathrm{C} e 80^\circ\mathrm{C} respectivamente. Portanto os valores para os pontos fixos são os obtidos acima.

Resposta

0^\circ \mathrm{C} \longmapsto -\dfrac{94}{3}^\circ \mathrm{J}\approx -31{,}333\ldots^\circ \mathrm{J}\n
100^\circ \mathrm{C} \longmapsto \dfrac{226}{3}^\circ \mathrm{J}\approx 75{,}333\ldots^\circ \mathrm{J}

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