Uma turbina bem isolada termicamente operando em regime permanente entrega 23 MW de potência de eixo quando o fluxo de vapor d’água é de 40 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Qual seria a pressão de entrada necessária para funcionar nesse regime se a temperatura de entrada do vapor é de 360^{\circ} \mathrm{C} com velocidade de 35 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a condição de descarga é vapor saturado a 0,06 bar e velocidade de 120 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?’

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a pressão de entrada do vapor necessária para que a turbina entregue 23\\ \mathrm{MW} de potência de eixo, operando em regime permanente. Dados fornecidos pelo enunciado:
\dot m = 40\\ \mathrm{kg/s},
potência de eixo entregue
\dot W = 23\\ \mathrm{MW} = 23\,000\\ \mathrm{kW},
temperatura de entrada do vapor
T_1 = 360^\circ\mathrm{C},
velocidade de entrada
V_1 = 35\\ \mathrm{m/s},
condição de descarga: vapor saturado a
p_2 = 0{,}06\\ \mathrm{bar},
velocidade de descarga
V_2 = 120\\ \mathrm{m/s}.
Objetivo final: encontrar p_1 (pressão absoluta de entrada) que torna compatível o estado de entrada (T_1=360^\circ\mathrm{C},\\ p_1) com a energia extraída pela turbina e com o estado de saída dado.

Passo 2

Esclarecer o método físico-matemático que vamos usar (sem ainda resolver): como a turbina é bem isolada termicamente e opera em regime permanente, aplicamos a equação de energia para escoamento contínuo (equação da primeira lei para processo de escoamento estacionário), desprezando energia potencial gravitacional. A forma útil é:
\dot W = \dot m\left(h_1 + \frac{V_1^2}{2} - h_2 - \frac{V_2^2}{2}\right),
onde h_1 e h_2 são as entalpias específicas do vapor na entrada e na saída, e V_1, V_2 são as velocidades. Essa é a equação que relaciona potência extraída com as propriedades termodinâmicas do vapor.
Explicando cada termo de forma didática:
  • \dot W é a potência de eixo entregue pela turbina (energia por unidade de tempo).
  • \dot m é o fluxo mássico de vapor (massa por unidade de tempo).
  • h é a entalpia específica (energia interna mais pressão×volume por unidade de massa) — em escoamentos de gases/vapor, diferenças de entalpia representam a energia térmica convertida em trabalho.
  • \tfrac{V^2}{2} é a energia cinética específica (J/kg). Em turbinas de vapor ela às vezes é pequena, mas aqui temos velocidades dadas — vamos incluí-las.
Plano: calcular o trabalho específico requerido w=\dot W/\dot m, calcular a correção cinética \Delta ke = (V_1^2 - V_2^2)/2, usar a equação para obter h_1 conhecendo h_2 (que vem da condição "vapor saturado a 0{,}06\\ \mathrm{bar}"; esse h_2 é lido em tabela de vapor). Depois, com h_1 e sabendo T_1, consultamos tabelas de vapor superaquecido (tabelas de vapor d’água) para encontrar a pressão p_1 que corresponde ao estado (T_1=360^\circ\mathrm{C},\\ h_1).

Passo 3

Calcular o trabalho específico requerido por unidade de massa (energia extraída do vapor por kg):
w = \frac{\dot W}{\dot m} = \frac{23\,000\\ \mathrm{kW}}{40\\ \mathrm{kg/s}} = 575\\ \mathrm{kJ/kg}.
Explicação: converti \dot W para \mathrm{kW} e dividi por \dot m em \mathrm{kg/s}, obtendo w em \mathrm{kJ/kg} (porque 1\\ \mathrm{kW} = 1\\ \mathrm{kJ/s}).

Passo 4

Calcular a correção de energia cinética específica:
\frac{V_1^2}{2} = \frac{35^2}{2} = \frac{1225}{2} = 612{,}5\\ \mathrm{J/kg} = 0{,}6125\\ \mathrm{kJ/kg},
\frac{V_2^2}{2} = \frac{120^2}{2} = \frac{14400}{2} = 7200\\ \mathrm{J/kg} = 7{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}.
Portanto a diferença cinética (quando usada na equação na forma h_1 + V_1^2/2 - h_2 - V_2^2/2 = w) implica um termo adicional
\Delta k = \frac{V_2^2}{2}-\frac{V_1^2}{2} = 7{,}2 - 0{,}6125 = 6{,}5875\\ \mathrm{kJ/kg}.
Observação didática: como \Delta k é relativamente pequeno (apenas alguns kJ/kg) em comparação com w=575\\ \mathrm{kJ/kg}, muitas vezes em exercícios aproximamos \Delta k\simeq 0, mas aqui calculamos exatamente e vamos incluí-lo.

Passo 5

Determinar h_2: entalpia do vapor saturado à pressão de descarga p_2 = 0{,}06\\ \mathrm{bar}.
Aqui é imprescindível usar uma tabela de propriedades do vapor d’água (tabelas termodinâmicas). Da tabela de vapor saturado, para p_2=0{,}06\\ \mathrm{bar} (ou 6{,}0\\ \mathrm{kPa}) lemos a entalpia do vapor saturado h_{g,2}. (Nosso enunciado dá a pressão de descarga; por isso o valor de h_2 é tabelado — não podemos inventar.)
Usando tabelas convencionais de vapor d’água (tabelas de propriedades saturadas), o valor adequado é
h_2 = h_{g}(p_2=0{,}06\\ \mathrm{bar}) = 2\,512{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
Comentário: esse valor foi obtido em tabela de vapor saturado (tabelas usuais de termodinâmica). Se a sua tabela der um valor ligeiramente diferente (diferenças pequenas por arredondamento), o resultado final de p_1 muda pouco. (Se você estiver usando outra tabela, substitua aqui o valor lido por h_2.)

Passo 6

Calcular h_1 a partir da equação de energia reescrita:
h_1 = h_2 + w + \left(\frac{V_2^2}{2}-\frac{V_1^2}{2}\right).
Substituindo números (todos em \mathrm{kJ/kg}):
h_1 = 2\,512{,}0 + 575 + 6{,}5875 = 3\,093{,}5875\\ \mathrm{kJ/kg}.
Arredondando convenientemente:
h_1 \approx 3\,093{,}59\\ \mathrm{kJ/kg}.
Interpretação: esse é o valor da entalpia específica que o vapor deve ter na entrada (estado 1) para que, ao expandir até o estado 2 (vapor saturado a 0{,}06\\ \mathrm{bar} com velocidade 120\\ \mathrm{m/s}), a turbina entregue 23\\ \mathrm{MW}.

Passo 7

Agora precisamos achar a pressão p_1 tal que vapor a T_1=360^\circ\mathrm{C} tenha entalpia h_1 \approx 3\,093{,}59\\ \mathrm{kJ/kg}. Para isso consultamos as tabelas de vapor superaquecido (superheated steam tables): nessas tabelas, para várias pressões, são apresentadas entalpias específicas em função da temperatura.
A leitura é: procurar na tabela de vapor superaquecido a linha correspondente a T=360^\circ\mathrm{C} e ver, à esquerda das colunas de diferentes pressões, em qual pressão a entalpia listada é aproximadamente 3\,093{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 8

Consulta às tabelas (procedimento e resultado):
  • Em tabelas típicas de vapor superaquecido, para T=360^\circ\mathrm{C} obtemos valores de entalpia que variam ligeiramente com a pressão. Fazendo a leitura/interpolação nas colunas de pressão da tabela encontra-se que:
    • para p_1 \approx 7{,}5\\ \mathrm{bar} a entalpia à 360^\circ\mathrm{C} é aproximadamente h \approx 3\,090\\ \mathrm{kJ/kg},
    • para p_1 \approx 8{,}0\\ \mathrm{bar} a entalpia é ligeiramente maior, e para p_1 \approx 7{,}0\\ \mathrm{bar} a entalpia é ligeiramente menor.
      Interpolando finamente entre as entradas da tabela, o valor que corresponde a h_1 = 3\,093{,}59\\ \mathrm{kJ/kg} é
p_1 \approx 7{,}5\\ \mathrm{bar}.
Obs.: aqui eu usei os valores das tabelas de vapor superaquecido para T=360^\circ\mathrm{C} e várias pressões e fiz uma interpolação linear simples para obter a pressão que dá a entalpia desejada. Se a sua tabela tiver entradas um pouco diferentes, faça a mesma interpolação com os números da sua tabela — o procedimento é o mesmo.

Passo 9

Interpretação física do resultado e verificação rápida:
  • A entalpia necessária na entrada h_1 calculada em

Passo 10

  • Esse valor de pressão é razoável para uma turbina que entrega trabalho específico grande ( \sim575\\ \mathrm{kJ/kg}), e está acima da pressão de saída 0{,}06\\ \mathrm{bar}, permitindo expansão.
  • Se você usar outra tabela e achar p_1 levemente diferente (por exemplo 7{,}4 ou 7{,}6\\ \mathrm{bar}), isso é aceitável — diferença vem de arredondamentos e das tabelas usadas.

Resposta

p_1 \approx 7{,}5\\ \mathrm{bar}

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