Uma amostra de
de gás hélio (assumindo a idealidade
expande-se irreversível e adiabaticamente de
e temperatura de 500 K para um volume de
contra uma pressão externa de
. Encontre a temperatura final,
e
para este processo. Compare cada propriedade calculada com a correspondente para um processo de expansão reversível e adiabática com a mesma variação de volume.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de gás hélio ideal com quantidade de matéria
. As condições iniciais e finais são:
O gás expande-se irreversivelmente e adiabaticamente contra uma pressão externa constante
Também é dada a capacidade térmica molar a volume constante (para hélio monoatômico):
O que o enunciado pede:
- encontrar a temperatura final
do gás no processo irreversível adiabático; - calcular
, , e para esse processo irreversível; - comparar cada uma dessas quantidades com o correspondente processo adiabático reversível (com a mesma variação de volume
).
Informações relevantes e observações iniciais (sem resolver ainda):
- “Adiabático” significa que
para o sistema (nenhum calor trocado com a vizinhança). - O processo é irreversível porque a pressão externa é constante e finita diferente da pressão interna durante a expansão; para trabalho usaremos
(convenção química: é o trabalho realizado sobre o sistema). - Para gás ideal monoatômico
e a energia interna depende só da temperatura: . - Entropia é função de estado: para calcular
do gás podemos integrar em um caminho reversível conveniente (mesmo que o processo real seja irreversível).
Passo 2
Calcular o trabalho
para a expansão irreversível contra pressão externa constante.
Expansão contra
(constante): por definição
Aqui devemos converter unidades para Joules. Usamos
.
O volume aumentado é
O volume aumentado é
Portanto
Convertendo para J:
Explicação didática: o sinal negativo significa que o sistema realizou trabalho sobre a vizinhança (energia saiu do sistema na forma de trabalho).
Passo 3
Usar a relação entre
e
para o gás ideal e encontrar
.
Para um gás ideal monoatômico a energia interna é função somente da temperatura. A variação de energia interna é
Como o processo é adiabático,
e a primeira lei dá
Logo podemos igualar
Substituindo
e isolando
:
Agora numéricos:
,
(usarei
para contas manuais suficientes):
Usando
,
Portanto
Interpretação: a temperatura caiu porque energia saiu do gás na forma de trabalho; como o trabalho foi relativamente pequeno (pressão externa fixa de 1 atm), a queda de temperatura não foi tão grande.
Passo 4
Calcular
e
explicitamente e checar consistência.
Como já usamos,
E
Também podemos verificar com
:
mesmo valor — bom sinal.
Passo 5
Calcular a variação de entropia
do gás no processo irreversível (usar caminho reversível conveniente).
Observação importante e didática: entropia
é função de estado, então
entre dois estados depende apenas dos estados iniciais e finais. Mesmo que o processo real seja irreversível, podemos calcular
do sistema integrando uma transformação reversível entre os mesmos estados. Para um ideal com
constante:
Usando
,
e
:
Logo
Interpretação: o valor é negativo — o entropia do gás diminuiu porque a temperatura caiu bastante comparado à variação de volume; isso não viola a segunda lei, porque o processo é irreversível e o trabalho realizado pelo gás será dissipado na vizinhança (aumentando a entropia da vizinhança). A variação total de entropia do universo será
.
Comentário sobre
: o trabalho
entregue ao entorno será, em última instância, convertido em calor na vizinhança (por exemplo, aquecendo a máquina que recebe o trabalho), e isso gera
. Sem informação da temperatura efetiva da vizinhança não podemos numericamente avaliar
, mas sabemos que a irreversibilidade produz entropia total positiva.
Passo 6
Agora calcular as mesmas propriedades para uma expansão adiabática reversível (isentrópica) entre os mesmos volumes
.
Para um gás ideal em um adiabat reversível vale a relação
onde
. Para monoatômico com
,
Assim
Aqui
. Substituindo numericamente:
Calculemos aproximadamente
:
, multiplicando por
obtém-se
, exponenciando dá
. Então
Agora
:
Como
também (adiabático), o trabalho reversível é
E para o adiabat reversível (processo isentrópico) tem-se
Passo 7
Comparações e interpretação física (resumo comparativo).
-
Temperatura final:
- irreversível adiabático:
. - reversível adiabático:
.
Interpretação: a expansão reversível faz mais trabalho (magnitude maior), portanto retira mais energia interna e leva a uma queda de temperatura bem maior; a expansão irreversível contra 1 atm realiza menos trabalho, logo o gás fica mais quente ao final.
- irreversível adiabático:
-
Trabalho
e energia interna : - irreversível:
. - reversível:
.
Conclusão:(o trabalho reversível tem maior magnitude).
- irreversível:
-
Calor:
- em ambos os processos adiabáticos
.
- em ambos os processos adiabáticos
-
Entropia do gás:
- irreversível:
(redução de entropia do gás). - reversível:
.
Observação: apesar de a entropia do gás diminuir no processo irreversível, a entropia total do universo aumenta (a irreversibilidade gera entropia na vizinhança quando o trabalho entregue é dissipado como calor). Sem dados adicionais sobre a temperatura da vizinhança não podemos dar um valor numérico para, mas sua tendência é positiva.
- irreversível:
Encerrando: o comportamento geral é intuitivo — o processo irreversível contra pressão externa constante faz menos trabalho (pois a pressão externa é maior do que a pressão interna média do gás durante a expansão reversível), então queda de energia interna e de temperatura menores; entropia do sistema muda conforme o estado final, e para um adiabat reversível a entropia do sistema permanece constante.
Resposta
Comparações (mesma
, adiabat reversível):