Uma máquina de Carnot contém 0,200 \mathrm{~mol} de um gás ideal monoatômico como fluido de trabalho. Se T_{h}=473 \mathrm{~K}, T_{C}=373 \mathrm{~K}, V_{1}=0,500 \mathrm{~L} e se o a razão de compressão (razão entre V_{3} e V_{1} ) seja igual a 6,00 , encontre a eficiência e os valores de V_{2} e V_{4}. Assuma que \bar{C}_{V} seja constante e igual a 3 n R / 2.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede as quantidades indicadas:
\text{Dados:}\quad n=0,200\\ \mathrm{mol},\; T_h=473\\ \mathrm{K},\; T_c=373\\ \mathrm{K},\; V_1=0,500\\ \mathrm{L},\; \frac{V_3}{V_1}=6{,}00
As perguntas são:
  1. Encontrar a eficiência da máquina de Carnot.
  2. Determinar V_2.
  3. Determinar V_4.

Passo 2

Fórmula da eficiência de um ciclo de Carnot (toda vez que aparece uma máquina de Carnot usamos esta relação, porque a eficiência depende só das temperaturas das fontes térmicas):
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h},
onde \eta é a eficiência (fração de calor transformado em trabalho), T_h é a temperatura da fonte quente e T_c é a temperatura da fonte fria. Aqui \;T_h=473\\ \mathrm{K} e \;T_c=373\\ \mathrm{K}. Agora substituímos para calcular numericamente:
\eta = 1 - \frac{373}{473}.
Fazendo a divisão \frac{373}{473}\approx 0{,}7885835, então
\eta \approx 1 - 0{,}7885835 = 0{,}2114165 \approx 0{,}2114.
(Em percentual: \approx 21{,}14\%.)

Passo 3

Precisamos das relações entre volumes nas expansões/compressões adiabáticas do ciclo. Para um gás ideal monoatômico usamos a razão de capacidades térmicas:
\gamma=\frac{C_p}{C_V}.
O enunciado dá \overline{C}_V = \dfrac{3 n R}{2} (ou seja, por mol, C_V=\tfrac{3}{2}R). Assim
\gamma = 1 + \frac{R}{C_V}=1+\frac{R}{\tfrac{3}{2}R}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}.
Para uma transformação adiabática reversível vale também a relação
T V^{\gamma-1}=\text{const}.
Isso nos permite relacionar temperaturas e volumes entre os extremos de uma adiabática. No ciclo de Carnot usual os passos são: isoterma em T_h de V_1\to V_2, adiabática de V_2\to V_3 (atingindo T_c), isoterma em T_c de V_3\to V_4, adiabática de V_4\to V_1. Usaremos as adiabáticas 2\to3 e 4\to1.

Passo 4

Relação adiabática entre os estados 2 e 3:
T_h\,V_2^{\gamma-1}=T_c\,V_3^{\gamma-1}.
Isolando V_2,
V_2 = V_3\left(\frac{T_c}{T_h}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}.
Como \gamma=\tfrac{5}{3} temos \gamma-1=\tfrac{2}{3} e portanto
\frac{1}{\gamma-1}=\frac{1}{2/3}=\frac{3}{2}.
Logo
V_2 = V_3\left(\frac{T_c}{T_h}\right)^{3/2}.

Passo 5

Usamos a razão dada V_3/V_1=6{,}00 para obter V_3:
V_3 = 6{,}00\;V_1 = 6{,}00\times 0{,}500\\ \mathrm{L}=3{,}000\\ \mathrm{L}.
Agora calculamos \left(\dfrac{T_c}{T_h}\right)^{3/2}. Primeiro
\frac{T_c}{T_h}=\frac{373}{473}\approx 0{,}7885835.
Tomando a potência 3/2:
\left(\frac{373}{473}\right)^{3/2}\approx 0{,}700275\\ (\text{aprox.}).
Portanto
V_2 = 3{,}000\\ \mathrm{L}\times 0{,}700275 \approx 2{,}1008\\ \mathrm{L}.
Arredondando: V_2\approx 2{,}101\\ \mathrm{L}.

Passo 6

Agora relacionamos V_4 e V_1 pela adiabática 4\to1:
T_c\,V_4^{\gamma-1}=T_h\,V_1^{\gamma-1}.
Isolando V_4,
V_4 = V_1\left(\frac{T_h}{T_c}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}} = V_1\left(\frac{T_h}{T_c}\right)^{3/2}.
Usando V_1=0{,}500\\ \mathrm{L} e \left(\dfrac{T_h}{T_c}\right)^{3/2}=\dfrac{1}{0{,}700275}\approx 1{,}427998, obtemos
V_4 \approx 0{,}500\\ \mathrm{L}\times 1{,}427998 \approx 0{,}713999\\ \mathrm{L}.
Arredondando: V_4\approx 0{,}714\\ \mathrm{L}.

Passo 7

Verificação rápida (consistência): para um ciclo de Carnot vale a identidade V_2/V_1 = V_3/V_4. Com os valores calculados:
\frac{V_2}{V_1}\approx\frac{2{,}101}{0{,}500}=4{,}202,\qquad \frac{V_3}{V_4}\approx\frac{3{,}000}{0{,}714}=4{,}201,
o que está consistente dentro do arredondamento numérico.

Resposta

\eta = 0{,}2114 (21{,}14\%)
V_2 \approx 2{,}101\\ \mathrm{L}
V_4 \approx 0{,}714\\ \mathrm{L}

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