Um mol de um gás ideal diatômico (molécula linear) inicialmente a pressão de 1,0 bar e temperatura de 373 K é conduzido a uma pressão final de 0,8 bar. Calcule o valor de \mathrm{w}, \mathrm{q}, \Delta \mathrm{U}, \mathrm{e} \Delta \mathrm{H} para este processo, considerando o caminho reversível definido por \mathbf{B}) \mathrm{P} \times \mathrm{V}=\mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede os valores solicitados:
  • Quantidade de gás: n=1 mol.
  • Tipo de gás: gás ideal diatômico (molécula linear).
  • Condição inicial: P_{1}=1{,}0\\ \text{bar} e T_{1}=373\\ \text{K}.
  • Condição final: P_{2}=0{,}8\\ \text{bar}.
  • Caminho reversível: \mathrm{P}\times\mathrm{V}=\mathrm{C} (isto é, PV constante ao longo do processo).
Perguntas que o enunciado faz (o que precisamos calcular):
  • O trabalho w realizado no processo (com a convenção usual de termodinâmica onde w é o trabalho feito sobre o sistema).
  • O calor q trocado com o entorno.
  • A variação da energia interna \Delta U.
  • A variação da entalpia \Delta H.

Passo 2

Interpretação da condição \mathrm{P}\times\mathrm{V}=\mathrm{C} e consequência para a temperatura:
  • Para um gás ideal vale a equação de estado
PV=nRT.
  • Se PV é constante durante o processo, então nRT também é constante, logo a temperatura é constante. Portanto o processo é isoterma e
\Delta T=0.
  • Importante: para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura. Assim, para qualquer processo isoterma de gás ideal,
\Delta U=0.
(Essa propriedade é central: não precisamos conhecer detalhes dos graus de liberdade para usar que \Delta U=0 numa transformação isoterma).

Passo 3

Determinar a razão dos volumes usando P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}:
\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{1{,}0}{0{,}8}=1{,}25.
Expliquei: isto vem diretamente de PV= constante, ou da equação de estado do gás ideal mantendo T fixo.

Passo 4

Fórmula do trabalho reversível numa transformação isotérmica de gás ideal:
  • Trabalho (com sinal da termodinâmica: trabalho sobre o sistema) para processo reversível é
w_{\text{rev}}=-\int_{V_{1}}^{V_{2}} P\,dV.
  • Para gás ideal em temperatura constante P=\dfrac{nRT}{V}. Substituindo e integrando:
w_{\text{rev}}=-\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{nRT}{V}\,dV = -nRT\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).
  • Observação de sinais: se o gás expande ( V_{2}>V_{1}) a razão é >1, o logaritmo é positivo e w fica negativo — isto significa que trabalho é realizado pelo sistema (o trabalho sobre o sistema é negativo).

Passo 5

Calcular numericamen­te w com os dados fornecidos:
  • Constante dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Temos n=1 e T=373\\ \mathrm{K}. Já encontramos \dfrac{V_{2}}{V_{1}}=1{,}25.
  • Primeiro calcule nRT:
nRT = 1\times 8{,}314\times 373.
Vamos multiplicar passo a passo (sem depender de calculadora complicada):
8{,}314\times 300 = 2\,494{,}2,
8{,}314\times 70 = 581{,}98,
8{,}314\times 3 = 24{,}942.
Somando:
nRT = 2\,494{,}2 + 581{,}98 + 24{,}942 = 3\,101{,}122\\ \mathrm{J}.
  • Agora o logaritmo:
\ln\!\left(1{,}25\right)\approx 0{,}2231435513.
  • Multiplicando:
nRT\cdot \ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)=3\,101{,}122\times 0{,}2231435513\approx 692{,}0\\ \mathrm{J}.
  • Portanto o trabalho é
w = -nRT\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)\approx -692{,}0\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcular q usando a primeira lei da termodinâmica:
  • Primeira lei (convenção q calor fornecido ao sistema, w trabalho feito sobre o sistema):
\Delta U = q + w.
  • Já estabelecemos que, por ser isoterma de gás ideal, \Delta U=0. Logo
0 = q + w \quad\Rightarrow\quad q = -w.
  • Substituindo o valor de w:
q = -\bigl(-692{,}0\\ \mathrm{J}\bigr) = +692{,}0\\ \mathrm{J}.
Interpretação física: o gás absorveu calor 692{,}0\\ \mathrm{J} do entorno para poder realizar trabalho de expansão.

Passo 7

Calcular \Delta H (variação de entalpia):
  • Para um gás ideal a entalpia molar depende somente da temperatura: H=H(T). Assim,
\Delta H = n C_{p}\Delta T.
  • Como \Delta T=0 (processo isoterma),
\Delta H = 0.
  • Alternativamente, usar H=U+PV e \Delta(PV)=nR\Delta T=0, levando ao mesmo resultado.

Passo 8

Resumo numérico final (arredondado considerando os dados iniciais):
  • w\approx -692{,}0\\ \mathrm{J}.
  • q\approx +692{,}0\\ \mathrm{J}.
  • \Delta U=0.
  • \Delta H=0.
Boa! O essencial aqui é perceber que a condição PV= constante implica processo isotérmico para gás ideal, e daí \Delta U=0 e \Delta H=0; o trabalho e o calor são iguais em módulo e de sinais opostos, com calor entrando para suprir o trabalho de expansão.

Resposta

w=-692{,}0\\ \mathrm{J}
q=+692{,}0\\ \mathrm{J}
\Delta U=0
\Delta H=0

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