Uma amostra de gás se expande segundo a equação
valor de
e o valor de
.
(a) Quais devem ser as unidades de a e b para que a unidade da pressão
seja
,sabendo que a unidade do volume V é
.
(b) Calcule o trabalho realizado pelo gás durante a expansão de um volume inicial
até um volume final
(a) Quais devem ser as unidades de a e b para que a unidade da pressão
(b) Calcule o trabalho realizado pelo gás durante a expansão de um volume inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que relaciona a pressão $ p $ com o volume $ V $ de um gás: $ p = aV^2 + b $. A gente sabe que $ a = 3 $ e $ b = 2 $. O conteúdo aqui envolve Unidades de Medida e Trabalho em Termodinâmica. Vamos precisar entender como as unidades se relacionam e depois calcular o trabalho realizado durante a expansão do gás.
Passo 2
Parte (a): Determinar as unidades de $ a $ e $ b $ para que $ p $ esteja em Pascal (Pa).
Primeiro, vamos lembrar que:
- A pressão $ p $ está em Pascal, que é $ \mathrm{Pa} = \mathrm{N/m^2} $.
- O volume $ V $ está em metros cúbicos, $ \mathrm{m^3} $.
A equação dada é $ p = aV^2 + b $. Para as unidades baterem, cada termo do lado direito deve ter a mesma unidade que $ p $, ou seja, $ \mathrm{Pa} $.
Vamos analisar cada termo:
-
Termo $ aV^2 $:
- $ V^2 $ tem unidades de $ (\mathrm{m3})2 = \mathrm{m^6} $.
- Queremos que $ aV^2 $ tenha unidades de $ \mathrm{Pa} = \mathrm{N/m^2} $.
- Portanto, $ a $ deve ter unidades que, multiplicadas por $ \mathrm{m^6} $, resultem em $ \mathrm{N/m^2} $.
- Assim, $ a $ tem unidades de $ \mathrm{Pa/m^6} $ ou $ \mathrm{N/m^8} $.
-
Termo $ b $:
- Já que $ b $ é somado a $ aV^2 $ e o resultado deve ser $ \mathrm{Pa} $, $ b $ também deve ter unidades de $ \mathrm{Pa} $.
Passo 3
Parte (b): Calcular o trabalho realizado pelo gás durante a expansão de $ V_i = 1 , \mathrm{m^3} $ até $ V_f = 3 , \mathrm{m^3} $.
O trabalho $ W $ realizado por um gás durante uma expansão é dado pela integral da pressão em relação ao volume:
Substituindo a equação da pressão:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 4
Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Calculando as integrais:
Então:
Passo 5
Agora, substituímos os limites de integração:
Passo 6
Agora, substituímos os valores de $ a = 3 $ e $ b = 2 $:
Resposta
O trabalho realizado pelo gás durante a expansão é de $ 30 , \mathrm{J} $.