Uma amostra de gás se expande segundo a equação p=a V^2+b O valor de a=3 e o valor de b=2.
(a) Quais devem ser as unidades de a e b para que a unidade da pressão p seja N / m^2=Pa,sabendo que a unidade do volume V é m^3.
(b) Calcule o trabalho realizado pelo gás durante a expansão de um volume inicial Vi=1 m^3 até um volume final Vf=3 m^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que relaciona a pressão $ p $ com o volume $ V $ de um gás: $ p = aV^2 + b $. A gente sabe que $ a = 3 $ e $ b = 2 $. O conteúdo aqui envolve Unidades de Medida e Trabalho em Termodinâmica. Vamos precisar entender como as unidades se relacionam e depois calcular o trabalho realizado durante a expansão do gás.

Passo 2

Parte (a): Determinar as unidades de $ a $ e $ b $ para que $ p $ esteja em Pascal (Pa).
Primeiro, vamos lembrar que:
  • A pressão $ p $ está em Pascal, que é $ \mathrm{Pa} = \mathrm{N/m^2} $.
  • O volume $ V $ está em metros cúbicos, $ \mathrm{m^3} $.
A equação dada é $ p = aV^2 + b $. Para as unidades baterem, cada termo do lado direito deve ter a mesma unidade que $ p $, ou seja, $ \mathrm{Pa} $.
Vamos analisar cada termo:
  1. Termo $ aV^2 $:
    • $ V^2 $ tem unidades de $ (\mathrm{m3})2 = \mathrm{m^6} $.
    • Queremos que $ aV^2 $ tenha unidades de $ \mathrm{Pa} = \mathrm{N/m^2} $.
    • Portanto, $ a $ deve ter unidades que, multiplicadas por $ \mathrm{m^6} $, resultem em $ \mathrm{N/m^2} $.
    • Assim, $ a $ tem unidades de $ \mathrm{Pa/m^6} $ ou $ \mathrm{N/m^8} $.
  2. Termo $ b $:
    • Já que $ b $ é somado a $ aV^2 $ e o resultado deve ser $ \mathrm{Pa} $, $ b $ também deve ter unidades de $ \mathrm{Pa} $.

Passo 3

Parte (b): Calcular o trabalho realizado pelo gás durante a expansão de $ V_i = 1 , \mathrm{m^3} $ até $ V_f = 3 , \mathrm{m^3} $.
O trabalho $ W $ realizado por um gás durante uma expansão é dado pela integral da pressão em relação ao volume:
Vi = 1 , m^3
Substituindo a equação da pressão:
Vf = 3 , m^3
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 4

Primeiro, integramos cada termo separadamente:
W = a integral1^3 V^2 , dV + b integral1^3 dV
Calculando as integrais:
integral V^2 , dV = V^33
integral dV = V
Então:
W = a [ V^33 ]1^3 + b [ V ]1^3

Passo 5

Agora, substituímos os limites de integração:
W = a ( 3^33 - 1^33 ) + b (3 - 1)
W = a ( 273 - 13 ) + b times 2
W = a ( 9 - 13 ) + 2b
W = a times 263 + 2b

Passo 6

Agora, substituímos os valores de $ a = 3 $ e $ b = 2 $:
a = 3
b = 2
W = 3 times 263 + 2 times 2

Resposta

O trabalho realizado pelo gás durante a expansão é de $ 30 , \mathrm{J} $.

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