Uso da irradiação para fabricar gelo. Você está participando de uma excursão a pé e sente uma vontade irresistível de tomar uma bebida gelada. Infelizmente, a temperatura do ar à noite não cai abaixo de 6,0^circ C, ou seja, a água não vai congelar se for simplesmente deixada ao relento em um recipiente. Entretanto, como o céu noturno em uma noite sem lua e sem nuvens se comporta como um corpo negro a uma temperatura Tc=-23^circ C, é possível fabricar gelo deixando uma camada fina de água irradiar energia para o céu. Para começar, você isola termicamente do solo um recipiente colocando-o sobre um material mau condutor de calor, como espuma de borracha, plástico bolha, isopor ou palha. Em seguida, coloca água no recipiente, formando uma camada fina, uniforme, de massa m=4,5 g, área superficial A=9,0 cm 2, espessura d=5,0 mm,emissividade varepsilon=0,90 e temperatura inicial 6,0^circ C. Calcule o tempo necessário para que a água congele. É possível congelar a água antes do nascer do sol?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. Você quer transformar água em gelo usando a irradiação noturna. A temperatura do ar está sempre acima de 6,0^circ C, então a água não congela sozinha. Mas, o céu, numa noite sem lua e sem nuvens, age como um corpo negro a -23^circ C. Vamos usar esse fato para fazer a água congelar. Para resolver isso, precisamos entender conceitos de transferência de calor por radiação e as propriedades da água ao congelar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a quantidade total de energia que precisa ser retirada da água para congelá-la. Isso inclui:
  1. Esfriar a água de 6,0^circ C até 0^circ C.
  2. Congelar a água a 0^circ C.
A energia necessária para esfriar a água é dada por:
Q1 = m cdot c cdot De
Onde:
  • m = 4,5 , g = 0,0045 , kg
  • c = 4186 , J/(kg·°C) (calor específico da água)
  • De
Calculando:
Q1 = 0,0045 , kg cdot 4186 , J/(kg·°C) cdot 6,0^circ C = 113,022 , J

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia necessária para congelar a água a 0^circ C. Isso é dado pelo calor latente de fusão:
Q2 = m cdot Lf
Onde:
  • Lf = 334,000 , J/kg (calor latente de fusão da água)
Calculando:
Q2 = 0,0045 , kg cdot 334,000 , J/kg = 1,503 , J

Passo 4

A energia total que precisa ser retirada da água é a soma de Q1 e Q2:
Qtotal = Q1 + Q2 = 113,022 , J + 1,503 , J = 114,525 , J

Passo 5

Agora, vamos calcular a potência radiativa que está sendo perdida pela água para o céu. Usamos a Lei de Stefan-Boltzmann:
P = varepsilon cdot sigma cdot A cdot (T^4 - Tc^4)
Onde:
  • varepsilon = 0,90 (emissividade da água)
  • sigma = 5,67 times 10^-8 , W/m^2K^4 (constante de Stefan-Boltzmann)
  • A = 9,0 , cm^2 = 0,0009 , m^2
  • T = 6,0^circ C = 279,15 , K
  • Tc = -23,0^circ C = 250,15 , K
Calculando as temperaturas em Kelvin:
T = 6,0^circ C + 273,15 = 279,15 , K
Tc = -23,0^circ C + 273,15 = 250,15 , K
Agora, calculamos T^4 e Tc^4:
T^4 = (279,15)^4 approx 6,056 times 10^9 , K^4
Tc^4 = (250,15)^4 approx 3,906 times 10^9 , K^4
Subtraindo:
T^4 - Tc^4 approx 6,056 times 10^9 - 3,906 times 10^9 = 2,150 times 10^9 , K^4
Agora, substituindo na fórmula da potência:
P = 0,90 cdot 5,67 times 10^-8 , W/m^2K^4 cdot 0,0009 , m^2 cdot 2,150 times 10^9 , K^4
P approx 0,90 cdot 5,67 times 10^-8 cdot 0,0009 cdot 2,150 times 10^9 approx 0,990 , W

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o tempo necessário para retirar a energia total Qtotal com a potência P:
t = QtotalP
t = 114,525 , J0,990 , W approx 115,66 , segundos
Convertendo para minutos:
t approx 115,6660 approx 1,93 , minutos

Resposta

O tempo necessário para congelar a água é de aproximadamente 2 minutos. Portanto, sim, é possível congelar a água antes do nascer do sol usando esse método de irradiação.

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