Análise Dimensional: Mostre que as unidades de tensão superficial ( \mathrm{N} / \mathrm{m} ) são equivalentes às de energia superficial ( \mathrm{J} / \mathrm{m}^{2} ).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as unidades de tensão superficial, dadas por \mathrm{N}/\mathrm{m}, são equivalentes às unidades de energia superficial, dadas por \mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}.
Informações fornecidas: as duas expressões de unidades que precisamos comparar são \mathrm{N}/\mathrm{m} e \mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}. Não foi pedido cálculo numérico, apenas demonstração dimensional/equivalência.

Passo 2

Vamos lembrar o que significam as unidades básicas em questão. Primeiro, a unidade de força, o Newton:
\mathrm{N} = \text{unidade de força} = \mathrm{kg}\cdot\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}.ç
Aqui cada símbolo significa: \mathrm{kg} = quilograma (massa), \mathrm{m} = metro (comprimento), \mathrm{s} = segundo (tempo). A fórmula vem da segunda lei de Newton F=ma, onde massa \times aceleração dá força.

Passo 3

Agora a unidade de energia, o Joule: por definição,
\mathrm{J} = \text{unidade de energia} = \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}.
Isto significa trabalho ou energia sendo força vezes deslocamento. Substituindo a expressão de \mathrm{N} em base SI obtemos
\mathrm{J} = \left(\mathrm{kg}\cdot\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}\right)\cdot\mathrm{m} = \mathrm{kg}\cdot\frac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{s}^{2}}.

Passo 4

Agora manipulemos \mathrm{J}/\mathrm{m}^{2} algebricamente usando \mathrm{J}=\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}. Em bloco:
\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}^{2}} = \frac{\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{m}^{2}} = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}.
Pronto: pela simples relação \mathrm{J}=\mathrm{N}\cdot\mathrm{m} vemos imediatamente que \mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}=\mathrm{N}/\mathrm{m}.

Passo 5

Para deixar tudo claro em unidades base, calculemos ambas expressões em \mathrm{kg},\mathrm{m},\mathrm{s}:
\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} = \frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}}{\mathrm{m}} = \mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-2},
\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}^{2}} = \frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}}{\mathrm{m}^{2}} = \mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-2}.
Ambas reduzem-se à mesma unidade base \mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-2}, confirmando a equivalência dimensional.

Passo 6

Interpretação física (para fixar o conceito): a tensão superficial \gamma de um líquido pode ser vista como energia por área ou como força por comprimento. Formalmente, se um filme tem energia E e área A,
dE=\gamma\,dA,
então \gamma=dE/dA tem unidade \mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}. Por outro lado, considere uma borda livre de comprimento L que é puxada um pequeno deslocamento dx; a nova área criada é dA=L\,dx, então a variação de energia é dE=\gamma L\,dx. A força necessária para puxar (trabalho por deslocamento) é
F=\frac{dE}{dx}=\gamma L,
logo a força por comprimento é
\frac{F}{L}=\gamma,
ou seja \gamma também tem unidade \mathrm{N}/\mathrm{m}. Isso explica fisicamente por que as duas expressões de unidade representam a mesma grandeza.

Passo 7

Dica rápida para provas: quando precisar checar unidades, use \mathrm{J}=\mathrm{N}\cdot\mathrm{m} ou converta todas as unidades para \mathrm{kg},\mathrm{m},\mathrm{s}. É rápido e evita confusão — e você já ganhou alguns pontos fáceis. Vai dar certo, respira e parte pra prova!

Resposta

\displaystyle \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}^{2}}=\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-2}

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