Cálculo: Calcule o trabalho necessário para aumentar o diâmetro de uma bolha de sabão de 2 cm para 5 cm . Considere a tensão superficial da solução de sabão como \gamma=25 \mathrm{mN} / \mathrm{m}. (Lembre-se: uma bolha de sabão tem duas interfaces arlíquido).

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o trabalho necessário para aumentar o diâmetro de uma bolha de sabão de 2\\ \mathrm{cm} para 5\\ \mathrm{cm}. Informações dadas:
  • Diâmetro inicial: D_i=2\\ \mathrm{cm}.
  • Diâmetro final: D_f=5\\ \mathrm{cm}.
  • Tensão superficial: \gamma=25\\ \mathrm{mN/m}.
  • Observação importante fornecida: uma bolha de sabão tem duas interfaces ar–líquido (ou seja, duas superfícies que contribuem para a energia superficial).
O que queremos encontrar: o trabalho W necessário para aumentar a bolha de D_i para D_f.

Passo 2

Entendendo a ideia física (passo-a-passo, sem pressa): a tensão superficial \gamma é a energia necessária para criar uma unidade de área de interface. Logo, o trabalho para aumentar a bolha é exatamente a energia necessária para aumentar a área total das interfaces. Em fórmula, para uma única interface:
\Delta E_{\text{superfície}}=\gamma\,\Delta A.í
Como a bolha tem duas interfaces (externa e interna), a variação da energia superficial total é
W=\gamma\,\Delta A_{\text{total}}=\gamma\cdot 2\Delta A.
Aqui:
  • \gamma é a tensão superficial (energia por unidade de área),
  • \Delta A é a variação da área de uma superfície esférica,
  • W é o trabalho (energia) que procuramos.
Também precisamos da fórmula da área de uma esfera: a área de superfície de uma esfera de raio r é
A=4\pi r^{2}.
Portanto
\Delta A=4\pi\bigl(r_{f}^{2}-r_{i}^{2}\bigr).

Passo 3

Vamos converter tudo para unidades do SI (metros, newtons):
  • Raio inicial: r_{i}=\dfrac{D_{i}}{2}=\dfrac{2\\ \mathrm{cm}}{2}=1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}.
  • Raio final: r_{f}=\dfrac{D_{f}}{2}=\dfrac{5\\ \mathrm{cm}}{2}=2,5\\ \mathrm{cm}=0,025\\ \mathrm{m}.
  • Tensão superficial: \gamma=25\\ \mathrm{mN/m}=25\times 10^{-3}\\ \mathrm{N/m}=0,025\\ \mathrm{N/m}.
(Expliquei as conversões porque em prova é comum perder pontos por unidade errada — lembra disso.)

Passo 4

Calcular a variação da área de uma superfície esférica:
\Delta A=4\pi\bigl(r_{f}^{2}-r_{i}^{2}\bigr).
Substituindo os valores:
r_{f}^{2}=(0,025)^{2}=0,000625\\ \mathrm{m}^{2},
r_{i}^{2}=(0,01)^{2}=0,0001\\ \mathrm{m}^{2},
r_{f}^{2}-r_{i}^{2}=0,000625-0,0001=0,000525\\ \mathrm{m}^{2}.
Então
\Delta A=4\pi\cdot 0,000525=0,0021\pi\\ \mathrm{m}^{2}.
Como existem duas interfaces, a variação da área total é
\Delta A_{\text{total}}=2\Delta A=2\cdot 0,0021\pi=0,0042\pi\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 5

Agora o trabalho W é
W=\gamma\,\Delta A_{\text{total}}.
Substituindo \gamma=0,025\\ \mathrm{N/m} e \Delta A_{\text{total}}=0,0042\pi\\ \mathrm{m}^{2}:
W=0,025\cdot 0,0042\pi=0,000105\pi\\ \mathrm{J}.
Calculando numericamente (aproximação usando \pi\approx 3,14159265):
W\approx 0,000105\times 3,14159265\\ \mathrm{J}\approx 0,000330\\ \mathrm{J}.
Em notação mais conveniente:
W\approx 3,30\times 10^{-4}\\ \mathrm{J}=0,330\\ \mathrm{mJ}.

Passo 6

Interpretação rápida para te animar: o valor é bem pequeno (da ordem de décimos de milijoule), o que faz sentido — superfície de bolha tem área pequena e \gamma é pequeno em unidades do SI. Mas a metodologia é a que conta: converter unidades, usar A=4\pi r^{2}, lembrar do fator 2 para bolha e multiplicar por \gamma.

Resposta

W\approx 3,30\times 10^{-4}\\ \mathrm{J}

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