Um aquecedor elétrico é usado para aquecer 25 kg de agua em um vaso fechado e bem isolado. A água está inicialmente a 20^circ C e o aquecedor libera 1,5 kW de potência ao conteúdo do vaso.
a) escreve um balanço diferencial de energia para a água assumindo que 97 % de energia liberada pelo aquecedor elétrico é utilizado para aquecê-la.
b) Obtenha o tempo em que a água atinja o ponto de ebulição à pressão de 705 mmHg .

Passo 1

Beleza, vamos ver o que esse exercício está pedindo. Temos um aquecedor elétrico que está aquecendo 25 kg de água dentro de um recipiente bem isolado. A água começa a 20°C e o aquecedor libera uma potência de 1,5 kW. Precisamos:
a) Escrever um balanço de energia diferencial para a água, sabendo que 97% da energia do aquecedor vai para aquecer a água.
b) Calcular quanto tempo leva para a água ferver sob uma pressão de 705 mmHg.
Vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como balanço de energia e capacidade térmica da água, além de entender como a pressão afeta o ponto de ebulição.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a). Um balanço de energia diferencial é basicamente contabilizar toda a energia que entra e sai do sistema—iniciaremos assumindo que a água é o nosso sistema.
Sabemos que a potência do aquecedor é de 1,5 kW, mas apenas 97% dessa energia está realmente aquecendo a água. Vamos representar isso matematicamente.

Passo 3

Vamos chamar a energia fornecida ao sistema de $ \dot{Q} $. Como queremos a energia que vai para a água, multiplicamos a potência total pela eficiência:
dotQ
Aqui, $ 0,97 $ representa os 97% da energia que realmente aquece a água.

Passo 4

O balanço de energia diferencial para a água pode ser escrito como:
dUdt = dotQ
Onde:
  • $ \frac{dU}{dt} $ é a taxa de variação da energia interna da água.
  • $ \dot{Q} $ é a taxa de transferência de calor para a água.
Como não há troca de calor com o ambiente devido ao isolamento, não precisamos considerar outras entradas ou saídas de energia.

Passo 5

Agora, para a parte (b), queremos saber quanto tempo leva para a água aquecer de 20°C até o ponto de ebulição a 705 mmHg.
Primeiro, precisamos encontrar a temperatura de ebulição da água a essa pressão. Normalmente, a água ferve a 100°C a 760 mmHg (pressão atmosférica padrão). Com a pressão um pouco menor, a temperatura de ebulição será também um pouco menor. Mas para simplificar, vamos considerar que ela ferve aproximadamente a 98°C.

Passo 6

Vamos usar a fórmula de calor:
Q = m times c times De
Onde:
  • $ Q $ é o calor necessário.
  • $ m $ é a massa da água (25 kg).
  • $ c $ é a capacidade térmica da água ($ 4186 , J/kg°C $).
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura.
Calculando $ \Delta T $:
Q

Passo 7

Agora, calculamos $ Q $:
Q

Passo 8

Sabemos que a potência efetiva fornecida ao sistema é de 1,455 kW, que é igual a 1.455 J/s. Para encontrar o tempo ($ t $), usamos:
t

Passo 9

Convertendo segundos para horas:
5.606.122, s3600, s/h approx 1.557, horas
Que são aproximadamente 1 hora e 33 minutos.

Resposta

a) O balanço de energia diferencial para a água é $ \frac{dU}{dt} = 1,455, kW $.
b) O tempo necessário para a água atingir o ponto de ebulição a 705 mmHg é aproximadamente 1 hora e 33 minutos.

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