Um arranjo cilindro pistão isolado contém inicialmente 300 L de ar a 120 kPa e 17^{\circ} \mathrm{C}. O ar é aquecido por 15 min por um aquecedor a resistência de 200 W dentro do cilindro. A pressão do ar permanece constante durante o processo. Determine a geração de entropia do ar.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (já convertidos quando necessário) e pede a geração de entropia do ar:
  • Volume inicial: V_{1}=300\\ \text{L}=0,300\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Pressão constante: p=120\\ \text{kPa}=120000\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura inicial: T_{1}=17^\circ\mathrm{C}=290{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Aquecedor eléctrico de resistência com potência P=200\\ \mathrm{W} funciona por t=15\\ \text{min}=900\\ \mathrm{s}.
  • Energia fornecida pelo aquecedor: Q_{\text{gen}}=P\cdot t.
  • O processo é isobárico ( p= constante) e o cilindro-pistão é isolado (não há transferência de calor através da parede).
    Pergunta: determinar a geração de entropia do ar durante o aquecimento.

Passo 2

Estratégia e princípios físicos que vamos usar (explicação didática):
  • Balanço de entropia para um sistema fechado (massa fixa):
\Delta S_{\text{sys}}=\int\frac{\delta Q_{\text{b}}}{T_{\text{b}}}+S_{\text{gen}},
onde \delta Q_{\text{b}} é o calor que atravessa a fronteira do sistema e S_{\text{gen}} é a entropia gerada internamente (sempre \ge0).
  • Aqui a parede é termicamente isolada, então \delta Q_{\text{b}}=0. Assim:
S_{\text{gen}}=\Delta S_{\text{sys}}.
  • Para um gás ideal o diferencial de entropia (por unidade de massa) é
\mathrm{d}s=c_{p}\frac{\mathrm{d}T}{T}-R\frac{\mathrm{d}p}{p},
onde c_{p} é o calor específico a pressão constante, R é a constante específica do gás.
  • Como o processo é a pressão constante ( \mathrm{d}p=0), temos para a variação de entropia específica:
\Delta s = c_{p}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right).
  • A variação total de entropia do ar é \Delta S = m\,\Delta s = m\,c_{p}\ln\!\left(\dfrac{T_{2}}{T_{1}}\right).
  • Precisamos do número de massa m e da temperatura final T_{2}. A massa vem da equação dos gases ideais no estado inicial:
m=\frac{pV_{1}}{R T_{1}}.
  • A temperatura final T_{2} vem do balanço de energia (primeira lei) considerando que a energia elétrica entregue ao interior aumenta a energia interna e realiza trabalho de expansão à pressão constante:
m c_{p}(T_{2}-T_{1})=Q_{\text{gen}}.
  • Valores usuais para ar (assumidos constantes): R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e c_{p}=1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    Observação: estamos assumindo c_{p} e R constantes (aproximação comum); isso facilita cálculos sem calculadora e é adequado para exercícios de curso.

Passo 3

Calcular a massa do ar usando a equação dos gases ideais no estado inicial:
m=\frac{pV_{1}}{R T_{1}}=\frac{120000\cdot 0{,}300}{287\cdot 290{,}15}.
Agora calcular numericamente:
pV_{1}=120000\times 0{,}300=36000\\ \mathrm{J}, \qquad R T_{1}=287\times 290{,}15=83273{,}05\\ \mathrm{J/kg}.
m=\frac{36000}{83273{,}05}\approx 0{,}4323\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular a energia fornecida pelo aquecedor:
Q_{\text{gen}}=P\cdot t=200\\ \mathrm{W}\times 900\\ \mathrm{s}=180000\\ \mathrm{J}.
Aplicar o balanço de energia para obter T_{2}:
m c_{p}(T_{2}-T_{1})=Q_{\text{gen}} \quad\Rightarrow\quad T_{2}=T_{1}+\frac{Q_{\text{gen}}}{m c_{p}}.
Calcular m c_{p} e \Delta T:
m c_{p}=0{,}4323\times 1005\approx 434{,}42\\ \mathrm{J/K},
\Delta T=\frac{180000}{434{,}42}\approx 414{,}38\\ \mathrm{K}.
Logo
T_{2}=290{,}15+414{,}38\approx 704{,}53\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular a variação de entropia específica e total:
\Delta s = c_{p}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) =1005\ln\!\left(\frac{704{,}53}{290{,}15}\right)\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Calcular o argumento do logaritmo e o logaritmo:
\frac{T_{2}}{T_{1}}\approx \frac{704{,}53}{290{,}15}\approx 2{,}4289, \qquad \ln(2{,}4289)\approx 0{,}8869.
\Delta s \approx 1005\times 0{,}8869 \approx 891{,}7\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
A variação total de entropia do ar (que é igual à entropia gerada, pois \delta Q_{\text{b}}=0):
S_{\text{gen}}=\Delta S=m\,\Delta s \approx 0{,}4323\times 891{,}7 \approx 385{,}3\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Interpretação e comentários finais (didáticos e motivadores):
  • O resultado S_{\text{gen}}\approx 385{,}3\\ \mathrm{J/K} é positivo, como deve ser (segunda lei): houve produção de entropia interna devido aos processos irreversíveis associados à geração de calor no resistor e expansão do gás a pressão finita.
  • Principais aproximações feitas: ar considerado gás ideal, c_{p} e R constantes. Se quisesse maior precisão para temperaturas muito altas, poderia usar tabelas de c_{p}(T); aqui a aproximação é suficiente para a prova.
  • Bom trabalho! Mesmo com o pânico inicial, essa questão é direta quando se aplica a contabilidade de energia e entropia passo a passo.

Resposta

S_{\text{gen}}\approx 385{,}3\\ \mathrm{J/K}

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