Um arranjo pistão-cilindro altamente isolado contêm 0,02 m^3 de vapor de água a 300 kPa e 200^circ C. O vapor de água é então comprimido de forma reversível até uma pressão de 1 MPa. Determine o trabalho realizado sobre o vapor durante o processo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de termodinâmica juntos! A gente tem um sistema isolado com vapor de água num pistão-cilindro. A questão pede para calcular o trabalho feito sobre o vapor quando ele é comprimido de forma reversível. Para isso, vamos precisar lembrar das leis dos gases, especialmente como calcular trabalho em processos reversíveis. Vamos usar um pouco de matemática com fórmulas em LaTeX para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Volume inicial, $ V_1 = 0,02 , m^3 $
  • Pressão inicial, $ P_1 = 300 , kPa $
  • Temperatura inicial, $ T_1 = 200^\circ C $
  • Pressão final, $ P_2 = 1 , MPa $
Queremos encontrar o trabalho realizado sobre o vapor durante a compressão.

Passo 3

Vamos lembrar que, para um processo reversível, o trabalho $ W $ pode ser calculado usando a integral:
W
O sinal negativo indica trabalho feito sobre o sistema. Para resolver essa integral, precisamos saber como a pressão $ P $ varia com o volume $ V $ durante a compressão.

Passo 4

Assumindo que o vapor de água se comporta como um gás ideal, podemos usar a equação dos gases ideais:
PV = nRT
Onde:
  • $ P $ é a pressão
  • $ V $ é o volume
  • $ n $ é o número de mols
  • $ R $ é a constante dos gases ($ 8,314 , J/mol·K $)
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin
Vamos primeiro converter a temperatura para Kelvin:
P

Passo 5

Agora, vamos encontrar o número de mols $ n $ do vapor usando a equação dos gases:
n
Substituindo os valores:
n = P1 V1R T1

Passo 6

Como o processo é isentrópico (reversível e adiabático para um sistema isolado), a relação entre pressão e volume segue:
PV^gamma = constante
Onde $ \gamma $ é o índice adiabático. Para vapor de água, $ \gamma $ geralmente é aproximadamente 1,33.

Passo 7

Agora, podemos expressar a pressão $ P $ em função de $ V $:
P
Vamos usar essa relação na integral do trabalho:
V
Para resolver essa integral, precisamos relacionar $ V_2 $ com $ V_1 $ usando as pressões inicial e final.

Passo 8

Usando a relação $ PV^\gamma = constante $, temos:
PV^gamma = constante
Resolvendo para $ V_2 $:
P1 V1^gamma = P2 V2^gamma
Substituindo os valores:
V2

Passo 9

Agora, vamos resolver a integral do trabalho:
W = -integral0,02^0,00782 P1 V1^gammaV^gamma , dV = -P1 V1^gamma integral0,02^0,00782 V^-gamma , dV
Integrando:
W = -P1 V1^gamma [ V^1 - gamma1 - gamma ]0,02^0,00782

Passo 10

Substituindo os limites de integração:
W = -P1 V1^gamma ( V2^1 - gamma - V1^1 - gamma1 - gamma )
Vamos calcular cada parte:
V1^gamma = 0,02^1,33 approx 0,02^1,33 approx 0,0075 , m^3,33
V2^1 - gamma = 0,00782^1 - 1,33 = 0,00782^-0,33 approx 5,18 , m^-1
V1^1 - gamma = 0,02^-0,33 approx 2,30 , m^-1

Passo 11

Agora, substituindo esses valores na equação do trabalho:
W = -300 times 10^3 times 0,0075 times ( 5,18 - 2,301 - 1,33 )
Calculando o numerador da fração:
5,18 - 2,30 = 2,88
E o denominador:
1 - 1,33 = -0,33
Então:
W = -300 times 10^3 times 0,0075 times ( 2,88-0,33 )

Passo 12

Simplificando os sinais:
W = -300 times 10^3 times 0,0075 times (-8,73) = 300 times 10^3 times 0,0075 times 8,73
Calculando:
W approx 300 times 10^3 times 0,0655 approx 19.650 , J

Resposta

O trabalho realizado sobre o vapor durante o processo de compressão reversível é de aproximadamente $ 19.650 , J $.

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