Atualmente estamos lançando na atmosfera uma corrente de ar sob pressão ( \mathrm{Q}=20 \mathrm{l} / \mathrm{s}, \mathrm{T}=300 \mathrm{~K}, \mathrm{p}=10 \mathrm{~atm} ) sem realizar nada de útil com isso. Estamos pensando em instalar uma turbina com um gerador elétrico para recuperar uma parte de toda essa energia disponível atualmente desperdiçada. Calcule a potência gerada por uma turbina adiabática ideal e quanto dinheiro iremos recuperar em 30 dias para uma energia elétrica a R \ 0,15 / \mathrm{kWh}$

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular a potência elétrica máxima recuperável por uma turbina adiabática ideal (reversível) que expande ar de p_1=10\\ \text{atm} para p_2=1\\ \text{atm}, com entrada a T_1=300\\ \text{K} e vazão volumétrica Q=20\\ \text{L/s}.
  • Calcular quanto de dinheiro será recuperado em 30 dias vendendo a energia elétrica a \mathrm{R}\$\,0{,}15/\mathrm{kWh}.
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado deu):
  • \;Q=20\\ \text{L/s} (vazão volumétrica na entrada).
  • \;T_1=300\\ \text{K}.
  • \;p_1=10\\ \text{atm}.
  • \;p_2=1\\ \text{atm}.
  • Preço da energia: \;0{,}15\\ \mathrm{R}\$/\mathrm{kWh}.
  • Tempo de operação: \;30\\ \text{dias}.
Observação: a figura descreve uma turbina adiabática reversível (isentrópica) — usaremos isso nas contas posteriores.

Passo 2

Hipóteses e fórmulas fundamentais (aula rápida e necessária):
  • Para um escoamento estacionário por uma turbina adiabática e reversível (isen-trópica) desprezando variações de energia cinética e potencial, a potência útil ideal entregue pela turbina é
\dot W = \dot m\,(h_1-h_{2s}),
onde \dot m é a vazão mássica, h é a entalpia específica, e o subíndice 2s indica o estado final na expansão isentrópica.
  • Para um gás ideal com calor específico a pressão constante aproximadamente constante ( c_p constante), temos
h = c_p\,T.
Logo
h_1-h_{2s}=c_p\,(T_1-T_{2s}).
  • A relação isentrópica para gás perfeito é
T_{2s}=T_1\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\!\frac{k-1}{k}},
onde k=c_p/c_v é a razão de capacidades térmicas.
  • A vazão mássica é dada por (equação dos gases ideais)
\dot m=\rho_1\,\dot V=\frac{p_1}{R\,T_1}\,\dot V,
onde \dot V é a vazão volumétrica na entrada, R é a constante do gás e \rho_1 a densidade na entrada.
Constantes típicas para o ar (vamos assumir ar seco, valores usuais):
k=1{,}4,\qquad c_p=1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\qquad R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
(Expliquei por que escolhi essas constantes: são valores padrão usados em problemas de termodinâmica para ar em condições próximas às do enunciado.)

Passo 3

Conversões numéricas iniciais e cálculo da vazão mássica:
  • Converter vazão volumétrica:
\dot V =20\\ \text{L/s}=20\cdot 10^{-3}\\ \text{m}^3/\text{s}=0{,}02\\ \text{m}^3/\text{s}.
  • Converter pressões para pascal:
p_1=10\\ \text{atm}=10\cdot 101{,}325\\ \text{kPa}=1{,}013{,}250\\ \text{Pa}, \quad p_2=1\\ \text{atm}=101{,}325\\ \text{Pa}.
  • Cálculo de \dot m usando \dot m=\dfrac{p_1}{R\,T_1}\,\dot V:
\dot m=\frac{1{,}013{,}250}{287\cdot 300}\cdot 0{,}02.
Agora faço a conta passo a passo:
287\cdot 300=86{,}100,
\frac{1{,}013{,}250}{86{,}100}\approx 11{,}77\\ \text{kg/m}^3\quad(\text{esta é }\rho_1),é
\dot m=\rho_1\dot V=11{,}77\cdot 0{,}02\approx 0{,}2354\\ \text{kg/s}.

Passo 4

Cálculo da temperatura de saída na expansão isentrópica \;T_{2s}:
Usamos
T_{2s}=T_1\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\!\frac{k-1}{k}}.
Substituindo:
\frac{p_2}{p_1}=\frac{1}{10}=0{,}1, \qquad \frac{k-1}{k}=\frac{1{,}4-1}{1{,}4}=\frac{0{,}4}{1{,}4}\approx 0{,}285714.
Logo
T_{2s}=300\cdot (0{,}1)^{0{,}285714}.
Calculo da potência do expoente:
(0{,}1)^{0{,}285714}\approx 0{,}518,
então
T_{2s}\approx 300\cdot 0{,}518\approx 155{,}4\\ \text{K}.
Interpretação rápida: a forte queda de pressão (10→1 atm) causa uma grande queda de temperatura na expansão isentrópica.

Passo 5

Cálculo da variação de entalpia e da potência da turbina:
  • Variação de entalpia por unidade de massa:
h_1-h_{2s}=c_p\,(T_1-T_{2s})=1005\cdot(300-155{,}4).
Calculo:
300-155{,}4=144{,}6\\ \text{K},
h_1-h_{2s}=1005\cdot 144{,}6\approx 145{,}323\\ \text{J/kg}.
  • Potência ideal recuperável:
\dot W=\dot m\,(h_1-h_{2s})=0{,}2354\cdot 145{,}323\\ \text{W}\approx 34{,}20\\ \text{kW}.
(Transformei para kW dividindo por 1000; então \dot W\approx 34{,}2\\ \mathrm{kW}.)

Passo 6

Energia gerada em 30 dias e valor financeiro:
  • Tempo em horas:
30\\ \text{dias}=30\cdot 24=720\\ \text{h}.
  • Energia em kWh:
E=\dot W_{\text{(kW)}}\cdot 720\\ \text{h}=34{,}20\cdot 720\\ \text{kWh}\approx 24{,}624\\ \text{kWh}.
  • Receita (preço \;0{,}15\\ \mathrm{R}\$/\mathrm{kWh}):
\text{Receita}=24{,}624\cdot 0{,}15\\ \mathrm{R}\$\approx 3{,}693{,}6\\ \mathrm{R}\$.
Arredondando com duas casas decimais, dá \mathrm{R}\$\,3{,}693{,}71.

Resposta

\dot W_{\text{ideal}}\approx 34{,}2\\ \mathrm{kW}
\text{Receita em 30 dias}\approx \mathrm{R}\$\,3{,}693{,}71

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