Atualmente estamos lançando na atmosfera uma corrente de ar sob pressão (
) sem realizar nada de útil com isso. Estamos pensando em instalar uma turbina com um gerador elétrico para recuperar uma parte de toda essa energia disponível atualmente desperdiçada. Calcule a potência gerada por uma turbina adiabática ideal e quanto dinheiro iremos recuperar em 30 dias para uma energia elétrica a R
0,15 / \mathrm{kWh}$
Passo 1
O que o problema pede:
- Calcular a potência elétrica máxima recuperável por uma turbina adiabática ideal (reversível) que expande ar de
para , com entrada a e vazão volumétrica . - Calcular quanto de dinheiro será recuperado em
dias vendendo a energia elétrica a .
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado deu):
-
(vazão volumétrica na entrada). -
. -
. -
. - Preço da energia:
. - Tempo de operação:
.
Observação: a figura descreve uma turbina adiabática reversível (isentrópica) — usaremos isso nas contas posteriores.
Passo 2
Hipóteses e fórmulas fundamentais (aula rápida e necessária):
- Para um escoamento estacionário por uma turbina adiabática e reversível (isen-trópica) desprezando variações de energia cinética e potencial, a potência útil ideal entregue pela turbina é
onde
é a vazão mássica,
é a entalpia específica, e o subíndice
indica o estado final na expansão isentrópica.
- Para um gás ideal com calor específico a pressão constante aproximadamente constante (
constante), temos
Logo
- A relação isentrópica para gás perfeito é
onde
é a razão de capacidades térmicas.
- A vazão mássica é dada por (equação dos gases ideais)
onde
é a vazão volumétrica na entrada,
é a constante do gás e
a densidade na entrada.
Constantes típicas para o ar (vamos assumir ar seco, valores usuais):
(Expliquei por que escolhi essas constantes: são valores padrão usados em problemas de termodinâmica para ar em condições próximas às do enunciado.)
Passo 3
Conversões numéricas iniciais e cálculo da vazão mássica:
- Converter vazão volumétrica:
- Converter pressões para pascal:
- Cálculo de
usando :
Agora faço a conta passo a passo:
Passo 4
Cálculo da temperatura de saída na expansão isentrópica
:
Usamos
Usamos
Substituindo:
Logo
Calculo da potência do expoente:
então
Interpretação rápida: a forte queda de pressão (10→1 atm) causa uma grande queda de temperatura na expansão isentrópica.
Passo 5
Cálculo da variação de entalpia e da potência da turbina:
- Variação de entalpia por unidade de massa:
Calculo:
- Potência ideal recuperável:
(Transformei para kW dividindo por
; então
.)
Passo 6
Energia gerada em
dias e valor financeiro:
- Tempo em horas:
- Energia em kWh:
- Receita (preço
):
Arredondando com duas casas decimais, dá
.