Avalie o volume especifico, em ft³/lb , e a entalpia especifica, em Btu/lb, da água a 400^{\circ} \mathrm{F}\left(204,4^{\circ} \mathrm{C}\right) e à pressão de 3000 \mathrm{lbf/in}^{2}(20.7 \mathrm{MPa})

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume específico e a entalpia específica da água nas condições
T = 400^\circ\mathrm{F}\quad(=204{,}4^\circ\mathrm{C})
e
P = 3000\\ \mathrm{lbf/in^2}\quad(=3000\\ \mathrm{psi}\approx 20{,}7\\ \mathrm{MPa}).
Informações dadas que vamos usar:
T=400^\circ\mathrm{F},\qquad P=3000\\ \mathrm{psi}.
O que se pede:
  • o volume específico v em \mathrm{ft}^3/\mathrm{lb};
  • a entalpia específica h em \mathrm{Btu}/\mathrm{lb}.

Passo 2

Determinar o tipo de regime (saturado, vapor seco, líquido comprimido etc.) e qual aproximação usar. Explicação didática curta e necessária:
  • Para uma dada temperatura T existe uma pressão de saturação P_{sat}(T). Se a pressão aplicada P for maior que P_{sat}(T), a água àquela temperatura encontra‑se como líquido comprimido (subresfriado/pressurizado) — ou seja, é líquido cuja pressão é maior que a pressão de vapor correspondente àquela temperatura.
  • A partir de tabelas de vapor-água (tabelas de saturação) a pressão de saturação para T=400^\circ\mathrm{F} é, aproximadamente,
P_{sat}(400^\circ\mathrm{F})\approx 247{,}7\\ \mathrm{psia}.
Como P=3000\\ \mathrm{psi}\gg P_{sat}, o estado é líquido comprimido.
  • Regra prática (muito usada em provas): propriedades de líquido comprimido à temperatura T podem ser aproximadas pelas propriedades do líquido saturado à mesma temperatura T (isto é, v\approx v_f(T) e h\approx h_f(T)), porque o líquido é praticamente incompressível — a dependência de pressão é pequena comparada à de temperatura. Eu vou usar essa aproximação e explicá‑la nas contas.

Passo 3

Cálculo do volume específico v. Método e conceitos:
  • O volume específico v é o inverso da densidade \rho:
v=\frac{1}{\rho}.
  • Vou estimar a densidade da água líquida à temperatura T=204{,}4^\circ\mathrm{C}. De tabelas de propriedades da água líquida, a densidade líquida em torno de 200^\circ\mathrm{C} está perto de 0{,}86\\ \mathrm{g/cm^3} (ou 860\\ \mathrm{kg/m^3}). Como 204{,}4^\circ\mathrm{C} é muito próximo de 200^\circ\mathrm{C}, adotamos
\rho \approx 860\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Converter \rho para unidades compatíveis com a fórmula e obter v em \mathrm{ft}^3/\mathrm{lb}. Primeiro obter v em \mathrm{m^3/kg}:
v_{\mathrm{SI}}=\frac{1}{\rho}=\frac{1}{860}\\ \mathrm{m^3/kg}\approx 0{,}0011628\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Converter \mathrm{m^3/kg} para \mathrm{ft}^3/\mathrm{lb}. Fatores de conversão úteis:
1\\ \mathrm{m^3/kg} = 16{,}01846\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lb}.
Logo
v = v_{\mathrm{SI}}\times 16{,}01846 \approx 0{,}0011628\times 16{,}01846\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lb}.
  • Calculemos o produto (mostro a conta):
v \approx 0{,}0011628\times 16{,}01846 \approx 0{,}01863\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lb}.
  • Arredondando a um número prático para prova, podemos usar
v\approx 0{,}0186\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lb}.
Observação didática: se você tivesse a tabela de líquido saturado em 400^\circ\mathrm{F}, obteria um valor muito próximo a este para v_f. A diferença por causa da pressão 3000\\ \mathrm{psi} é pequena para o volume específico do líquido.

Passo 4

Cálculo da entalpia específica h. Método e conceitos:
  • Para líquido comprimido usamos a aproximação
h\approx h_f(T),
isto é, entalpia do líquido saturado à mesma T.
  • Como nem sempre temos a tabela na prova, uma forma prática de estimar h_f(T) é integrar a capacidade calorífica do líquido ( c_p) desde uma temperatura de referência onde o valor de entalpia é conhecido. Uma escolha comum de referência é T_{ref}=32^\circ\mathrm{F} (ou 0^\circ\mathrm{C} em tabelas diferentes). Para água líquida, c_p varia pouco com temperatura e vale aproximadamente
c_p\approx 1{,}0\\ \mathrm{Btu/(lb\cdot^\circ F)}
(este valor prático é frequentemente usado em provas).
  • Usando referência onde h(32^\circ\mathrm{F})\approx 0\\ \mathrm{Btu/lb} (convenção útil para estimativas), temos:
h(T)\approx \int_{32^\circ\mathrm{F}}^{400^\circ\mathrm{F}} c_p\,dT \approx c_p\,(400-32).
Substituindo c_p\approx 1{,}0\\ \mathrm{Btu/(lb\cdot^\circ F)}:
h\approx 1{,}0\times(400-32)=368\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lb}.
  • Comentário sobre precisão: usar c_p\approx 1 dá uma estimativa muito razoável; c_p real da água líquida aumenta ligeiramente com T (talvez 1{,}01 1{,}03), o que elevaria h um pouco (por exemplo se c_p=1{,}02 então h\approx 375\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lb}). Em tabelas reais de vapor, o valor tabulado de h_f em 400^\circ\mathrm{F} fica na faixa de 3{,}6\times 10^2\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lb}, então nossa estimativa 368\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lb} é compatível e adequada para provas sem tabela.

Passo 5

Resumo e indicação de incerteza prática:
  • Volume específico estimado:
v\approx 0{,}0186\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lb}.
  • Entalpia específica estimada:
h\approx 368\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lb}.
Estimativa de ordem de grandeza da incerteza: algumas unidades no último algarismo (poucos por cento) devido à aproximação c_p constante e à aproximação de líquido saturado. Em provas normalmente essa aproximação é aceita quando as tabelas não são fornecidas.

Resposta

v\approx 0{,}0186\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lb}
h\approx 368\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lb}

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