Avalie o volume especifico, em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{kg}, e a entalpia especifica, em kJ/kg do propano a 800 kPa e 0^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as grandezas indicadas:
  • Dados do estado do propano: p = 800\\ \mathrm{kPa}
T = 0^\circ\mathrm{C} = 273{,}15\\ \mathrm{K}
  • Pedidos:
    • volume específico em \mathrm{m}^3/\mathrm{kg};
    • entalpia específica em \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
Não há mais dados no enunciado (por exemplo: tabelas de propriedades, pressão de saturação, ou indicação explícita de tratar como gás ideal). A resolução começará agora.

Passo 2

Escolha do método (e justificativa simples)
  • Para obter o volume específico precisamos de uma relação entre p, T e v. O método mais básico é usar a equação dos gases ideais: p v = R T.Esse método é elementar e fácil de aplicar em prova sem tabela. Vou adotá-lo aqui porque o enunciado não forneceu tabelas e, por simplicidade, é o método mais acessível.
  • Observação importante (para você ter consciência): o propano real pode apresentar desvios do comportamento ideal dependendo da pressão/temperatura; se o estado real for líquido ou mistura saturada, ou se ocorrer forte não idealidade a 800 kPa, o resultado será aproximado. No final eu explico brevemente essa limitação.

Passo 3

Cálculo da constante específica R do propano
  • Para usar p v = R T precisamos de R do propano. A constante universal dos gases é R_u = 8{,}314462618\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kmol}\cdot\mathrm{K}) = 8{,}314462618\\ \mathrm{J}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}).
  • Massa molar do propano: \mathrm{C_3H_8} tem massa molecular \;M = 44{,}097\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}044097\\ \mathrm{kg/mol}.
  • A constante específica (por massa) é R = \frac{R_u}{M}.Em unidades consistentes (J/kg·K): R = \frac{8{,}314462618\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kmol}\cdot\mathrm{K})}{44{,}097\\ \mathrm{kg}/\mathrm{kmol}} = \frac{8{,}314462618}{0{,}044097}\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).Convertendo para J e calculando: R \approx 188{,}92\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).

Passo 4

Cálculo do volume específico usando a equação dos gases ideais
  • A equação dos gases ideais isolada para v fica v = \frac{R T}{p}.
  • Substituindo os valores (atenção às unidades: p em Pa, R em J/kg·K, T em K): p = 800\\ \mathrm{kPa} = 800\,000\\ \mathrm{Pa},
T = 273{,}15\\ \mathrm{K},
R \approx 188{,}92\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).
  • Agora o cálculo: v = \frac{188{,}92 \times 273{,}15}{800\,000}Primeiro calcule o numerador: 188{,}92 \times 273{,}15 \approx 51\,543{,}4Dividindo por 800\,000: v \approx 0{,}06443\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
  • Interpretação: esse valor corresponde ao volume específico se tratarmos o propano como um gás ideal (estado de vapor).

Passo 5

Como obter a entalpia específica: conceito e aproximação
  • Conceito: para um gás ideal a entalpia específica h depende apenas da temperatura e é dada por h = h_\text{ref} + \int_{T_\text{ref}}^{T} c_p(T)\,dT.Se assumirmos c_p praticamente constante na faixa considerada, podemos aproximar h \approx h_\text{ref} + c_p (T - T_\text{ref}).
  • Convenção prática para estimativa rápida: tomar referência em T_\text{ref}=0\\ \mathrm{K} (então h_\text{ref}=0) e usar h \approx c_p T. Isso fornece uma entalpia absoluta aproximada (útil para comparar estados). O que importa na prova muitas vezes é a variação de entalpia; aqui queremos um valor numérico aproximado para o estado dado.
  • Precisão: usamos c_p médio do propano como gás. Um valor típico para o calor específico a pressão constante do propano gasoso é c_p \approx 1{,}674\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).(Esse é um valor padrão aproximado válido para gases de hidrocarbonetos na faixa de temperatura próxima a 0–300 K.)

Passo 6

Cálculo numérico da entalpia com a aproximação h \approx c_p T
  • Usando T = 273{,}15\\ \mathrm{K} e c_p = 1{,}674\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}): h \approx c_p \, T = 1{,}674 \times 273{,}15.
  • Calculando: h \approx 456{,}95\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
  • Interpretação: esse é o valor aproximado da entalpia específica do propano tratado como gás ideal a 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Verificação de razoabilidade e observações finais (motivação para a prova)
  • Razoabilidade: o volume específico v\approx 0{,}0644\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} corresponde a um gás com densidade \rho \approx 1/v \approx 15{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, o que é plausível para um gás à pressão de 0{,}8\\ \mathrm{MPa}.
  • Limitações da aproximação: se, na realidade, a pressão de saturação do propano a 0^\circ\mathrm{C} for maior que 800\\ \mathrm{kPa}, então o propano estaria na fase vapor (superaquecido) e nossa aproximação como gás ideal pode ser aceitável; se a pressão de saturação for menor que 800\\ \mathrm{kPa}, o propano poderia estar em regime de líquido comprimido (então o comportamento ideal de gás NÃO se aplica e o volume específico seria muito menor, e a entalpia seria próxima da entalpia do líquido — nesse caso é obrigatório usar tabelas de propriedades). Em exames, se tiver tabela de propriedades, use sempre a tabela para decidir fase (comparar p com p_\text{sat}(T)) e pegar v e h diretamente das tabelas.
  • Em resumo: os valores abaixo são estimativas obtidas pela aproximação de gás ideal; servem bem para cálculos rápidos em prova quando não há tabelas.

Resposta

v \approx 0{,}06443\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}
h \approx 456{,}95\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}

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