Mesmo em baixa densidade, gases reais não obedecem bastante a lei do gás. Uma forma sistemática de ajustar as diferenças de comportamento em relação ao gás ideal é a expansão do virial. Em muitas situações, é suficiente omitir o terceiro termo e calcular apenas o segundo, cujo coeficiente B_{2}(T) é chamado o segundo coeficiente virial de modo que a série se torna P=\frac{n}{V} R T\left[1+\left(\frac{n}{V}\right) B_{2}(T)\right]. Na tabela abaixo, há alguns valores do segundo coeficiente do virial para o nitrogênio ( \mathrm{N}_{2} ). Para cada temperatura na tabela, calcule o segundo termo na equação do virial, \left(\frac{n}{V}\right) B_{2}(T), para o nitrogênio na pressão atmosférica.
Dica: calcule o termo n/V utilizando a equação de estado do gás ideal para cada temperatura e depois crie uma coluna à direita na tabela abaixo informando as temperaturas e os segundos termos da equação do virial \left(\frac{n}{V}\right) B_{2}(T) correspondentes.
T(\mathrm{~K}) B\left(\mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{mol}\right)
100 -160
200 -35
300 -4.2
400 9.0
500 16.9
600 21.3
Resp.: (n / V) B_{2}(T)
-0,019
-0,0021
-0,00017
+0,00027
+0,00041
+0,00043

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pedido: para cada temperatura da tabela, calcular o segundo termo da expansão do virial \left(\dfrac{n}{V}\right)B_{2}(T) para \mathrm{N}_2 na pressão atmosférica.
  • Dados (peguei estes valores do enunciado):
    • Temperaturas e segundos coeficientes viriais B (em \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}):
      • T=100\\ \mathrm{K}, B=-160\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}
      • T=200\\ \mathrm{K}, B=-35\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}
      • T=300\\ \mathrm{K}, B=-4{,}2\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}
      • T=400\\ \mathrm{K}, B=9{,}0\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}
      • T=500\\ \mathrm{K}, B=16{,}9\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}
      • T=600\\ \mathrm{K}, B=21{,}3\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}
    • Pressão: usar pressão atmosférica \,P=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (valor padrão).
    • Constante dos gases: R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\,K)}.
  • Observação sobre unidades: B está em \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}. Para multiplicar por n/V em \mathrm{mol/m^3} é preciso converter B para \mathrm{m^3/mol} usando 1\\ \mathrm{cm}^3 = 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 2

Fórmula a usar e explicação das variáveis (a ideia prática para a prova).
  • Partindo da equação dos gases ideais: P V = n R T,isolamos a densidade molar \dfrac{n}{V}: \frac{n}{V}=\frac{P}{R T}.Aqui:
    • \,P é a pressão absoluta (em Pa),
    • \,R é a constante dos gases (em \mathrm{J/(mol\,K)}),
    • \,T é a temperatura absoluta (em K),
    • \dfrac{n}{V} fica em \mathrm{mol/m^3}.
  • O termo que queremos é \left(\frac{n}{V}\right)B=\frac{P}{R T}\;B.Mas é crucial ter B em \mathrm{m^3/mol}. Se B está em \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}, usaremos B\\ (\mathrm{m^3/mol}) = B\\ (\mathrm{cm^3/mol})\times 10^{-6}.
  • Portanto a fórmula prática (já com a conversão) que vou aplicar para cada temperatura é: \left(\frac{n}{V}\right)B=\frac{P\;\bigl(B_{\text{(cm\(^3\)/mol)}}\times10^{-6}\bigr)}{R\,T}.

Passo 3

Cálculo para T=100\\ \mathrm{K}.
  • Primeiro calcule \dfrac{n}{V}: \frac{n}{V}=\frac{1{,}01325\times10^{5}}{8{,}314462618\times100} =\frac{1{,}01325\times10^{5}}{831{,}4462618} \approx 121{,}832\\ \mathrm{mol/m^3}.
  • Converter B=-160\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol} para \mathrm{m^3/mol}: B=-160\times10^{-6}=-1{,}60\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/mol}.
  • Agora o produto: \left(\frac{n}{V}\right)B=121{,}832\times(-1{,}60\times10^{-4})\approx -0{,}01949.
  • Arredondando conforme resposta desejada: -0{,}019.

Passo 4

Cálculo para T=200\\ \mathrm{K}.
  • \dfrac{n}{V}: \frac{n}{V}=\frac{1{,}01325\times10^{5}}{8{,}314462618\times200} =\frac{1{,}01325\times10^{5}}{1{,}662{,}8925236} \approx 60{,}9160\\ \mathrm{mol/m^3}.
  • B=-35\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}\Rightarrow B=-35\times10^{-6}=-3{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/mol}.
  • Produto: \left(\frac{n}{V}\right)B=60{,}9160\times(-3{,}5\times10^{-5})\approx -0{,}002132.
  • Arredondando: -0{,}0021.

Passo 5

Cálculo para T=300\\ \mathrm{K}.
  • \dfrac{n}{V}: \frac{n}{V}=\frac{1{,}01325\times10^{5}}{8{,}314462618\times300} \approx 40{,}6107\\ \mathrm{mol/m^3}.
  • B=-4{,}2\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}\Rightarrow B=-4{,}2\times10^{-6}=-4{,}2\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3/mol}.
  • Produto: \left(\frac{n}{V}\right)B=40{,}6107\times(-4{,}2\times10^{-6})\approx -0{,}0001706.
  • Arredondando: -0{,}00017.

Passo 6

Cálculo para T=400\\ \mathrm{K}.
  • \dfrac{n}{V}: \frac{n}{V}=\frac{1{,}01325\times10^{5}}{8{,}314462618\times400} \approx 30{,}4581\\ \mathrm{mol/m^3}.
  • B=9{,}0\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}\Rightarrow B=9{,}0\times10^{-6}=9{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3/mol}.
  • Produto: \left(\frac{n}{V}\right)B=30{,}4581\times9{,}0\times10^{-6}\approx 0{,}0002741.
  • Arredondando: +0{,}00027.

Passo 7

Cálculo para T=500\\ \mathrm{K}.
  • \dfrac{n}{V}: \frac{n}{V}=\frac{1{,}01325\times10^{5}}{8{,}314462618\times500} \approx 24{,}3664\\ \mathrm{mol/m^3}.
  • B=16{,}9\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}\Rightarrow B=16{,}9\times10^{-6}=1{,}69\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/mol}.
  • Produto: \left(\frac{n}{V}\right)B=24{,}3664\times1{,}69\times10^{-5}\approx 0{,}0004117.
  • Arredondando: +0{,}00041.

Passo 8

Cálculo para T=600\\ \mathrm{K}.
  • \dfrac{n}{V}: \frac{n}{V}=\frac{1{,}01325\times10^{5}}{8{,}314462618\times600} \approx 20{,}3055\\ \mathrm{mol/m^3}.
  • B=21{,}3\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}\Rightarrow B=21{,}3\times10^{-6}=2{,}13\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/mol}.
  • Produto: \left(\frac{n}{V}\right)B=20{,}3055\times2{,}13\times10^{-5}\approx 0{,}0004325.
  • Arredondando: +0{,}00043.

Resposta

-0{,}019
-0{,}0021
-0{,}00017
+0{,}00027
+0{,}00041
+0{,}00043

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