Mesmo em baixas densidades, os gases reais não obedecem exatamente a lei de um gás ideal. Uma forma sistemática de explicar os desvios do comportamento ideal é o método da expansão virial.
onde as funções
e assim por diante são chamadas de coeficientes viriais. Quando a densidade do gás é bastante baixa, de modo que o volume por mol é grande, cada termo da série é muito menor que o anterior. Em muitas situações é suficiente omitir o terceiro termo e concentrar-se no segundo, cujo coeficiente
é chamado de segundo coeficiente virial (sendo o primeiro coeficiente 1). Aqui estão alguns valores medidos do segundo coeficiente virial para nitrogênio
:
|
|
---|---|
100 | -160 |
200 | -35 |
300 | -4.2 |
400 | 9 |
500 | 16.9 |
600 | 21.3 |
c-) Qualquer relação proposta entre
e
, como a lei dos gases ideais ou a equação virial, é chamada de equação de estado. Outra equação famosa de estado, que é qualitativamente precisa mesmo para fluidos densos, é a equação de van der Waals,
onde
e
são constantes que dependem do tipo de gás. Calcule o segundo e terceiro coeficientes viriais (
e
) para um gás obedecendo à equação de van der Waals, em termos de
e
. (Dica: a expansão binomial diz que
, desde que
. Aplique esta aproximação na expressão
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Esse exercício trata da equação de van der Waals, que é uma forma mais precisa de descrever o comportamento dos gases reais comparada à lei dos gases ideais. Queremos encontrar os segundo e terceiro coeficientes viriais (
e
) dessa equação em termos das constantes
e
. Para isso, vamos usar a expansão virial e uma aproximação binomial para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de van der Waals:
Aqui:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é o número de mols, -
é a constante dos gases, -
é a temperatura, -
e são constantes específicas do gás.
Passo 3
Nossa meta é reescrever essa equação de uma forma que se pareça com a expansão virial:
Para isso, vamos isolar
na equação de van der Waals:
Então, isolando
:
Passo 4
Agora, vamos focar na fração
. Podemos reescrevê-la como:
Aqui, preparamos para aplicar a expansão binomial na expressão
.
Passo 5
A dica nos sugere usar a expansão binomial:
onde
. No nosso caso,
e
. Aplicando isso:
Simplificando:
Passo 6
Substituindo essa aproximação de volta na expressão para
:
Distribuindo o
:
Passo 7
Agora, vamos comparar essa expressão com a expansão virial:
Dividindo ambos os lados por
:
Comparando termo a termo:
- Termo de
corresponde ao termo ideal. - Termo de
corresponde ao segundo coeficiente virial . - Termo de
corresponde ao terceiro coeficiente virial .
Passo 8
Então, identificando os coeficientes:
Para o segundo coeficiente virial (
):
Mas observando as unidades e a comparação correta dos termos, ajustamos:
Na expressão comparada, temos:
Logo, o segundo coeficiente virial é:
Para o terceiro coeficiente virial (
):
Resposta
Para um gás que obedece à equação de van der Waals, os coeficientes viriais são dados por:
e