Mesmo em baixas densidades, os gases reais não obedecem exatamente a lei de um gás ideal. Uma forma sistemática de explicar os desvios do comportamento ideal é o método da expansão virial.
P V=n R T(1+B(T)V / n+C(T)V / n^2+ldots)
onde as funções B(T), C(T) e assim por diante são chamadas de coeficientes viriais. Quando a densidade do gás é bastante baixa, de modo que o volume por mol é grande, cada termo da série é muito menor que o anterior. Em muitas situações é suficiente omitir o terceiro termo e concentrar-se no segundo, cujo coeficiente B(T) é chamado de segundo coeficiente virial (sendo o primeiro coeficiente 1). Aqui estão alguns valores medidos do segundo coeficiente virial para nitrogênio (N2) :
T(K) B(T)
100 -160
200 -35
300 -4.2
400 9
500 16.9
600 21.3
c-) Qualquer relação proposta entre P, V e T, como a lei dos gases ideais ou a equação virial, é chamada de equação de estado. Outra equação famosa de estado, que é qualitativamente precisa mesmo para fluidos densos, é a equação de van der Waals,
(P+a nV^2)(V-n b)=n R T
onde a e b são constantes que dependem do tipo de gás. Calcule o segundo e terceiro coeficientes viriais ( B e C) para um gás obedecendo à equação de van der Waals, em termos de a e b. (Dica: a expansão binomial diz que (1+x)^p approx 1+p x+12 p(p-1) x^2, desde que |p x| ll 1. Aplique esta aproximação na expressão [1-(n b / V)]^-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício trata da equação de van der Waals, que é uma forma mais precisa de descrever o comportamento dos gases reais comparada à lei dos gases ideais. Queremos encontrar os segundo e terceiro coeficientes viriais ( B e C) dessa equação em termos das constantes a e b. Para isso, vamos usar a expansão virial e uma aproximação binomial para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de van der Waals:
(P + a nV^2)(V - n b) = n R T
Aqui:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases,
  • T é a temperatura,
  • a e b são constantes específicas do gás.

Passo 3

Nossa meta é reescrever essa equação de uma forma que se pareça com a expansão virial:
P V = n R T (1 + B(T)V / n + C(T)(V / n)^2 + ldots )
Para isso, vamos isolar P na equação de van der Waals:
P + a nV^2 = n R TV - n b
Então, isolando P:
P = n R TV - n b - a nV^2

Passo 4

Agora, vamos focar na fração 1V - n b. Podemos reescrevê-la como:
1V - n b = 1V (1 - n bV) = 1V cdot 11 - n bV
Aqui, preparamos para aplicar a expansão binomial na expressão 11 - n bV.

Passo 5

A dica nos sugere usar a expansão binomial:
(1 + x)^p approx 1 + p x + 12 p (p - 1) x^2
onde |p x| ll 1. No nosso caso, x = -n bV e p = -1. Aplicando isso:
11 - n bV approx 1 + (-1) (-n bV) + 12 (-1) (-1 - 1) (-n bV)^2
Simplificando:
11 - n bV approx 1 + n bV + n^2 b^2V^2

Passo 6

Substituindo essa aproximação de volta na expressão para P:
P = n R TV (1 + n bV + n^2 b^2V^2) - a nV^2
Distribuindo o n R TV:
P = n R TV + n^2 R T bV^2 + n^3 R T b^2V^3 - a nV^2

Passo 7

Agora, vamos comparar essa expressão com a expansão virial:
P V = n R T (1 + B(T)V / n + C(T)(V / n)^2 + ldots )
Dividindo ambos os lados por V:
P = n R TV (1 + B(T) nV + C(T) n^2V^2 + ldots )
Comparando termo a termo:
  • Termo de n R TV corresponde ao termo ideal.
  • Termo de n^2 R T bV^2 - a nV^2 corresponde ao segundo coeficiente virial B.
  • Termo de n^3 R T b^2V^3 corresponde ao terceiro coeficiente virial C.

Passo 8

Então, identificando os coeficientes:
Para o segundo coeficiente virial ( B):
B = R b - aR T
Mas observando as unidades e a comparação correta dos termos, ajustamos:
Na expressão comparada, temos:
n^2 R T bV^2 - a nV^2 = n^2V^2 (R T b - a)
Logo, o segundo coeficiente virial é:
B = b - aR T
Para o terceiro coeficiente virial ( C):
C = R b^2

Resposta

Para um gás que obedece à equação de van der Waals, os coeficientes viriais são dados por:
B = b - aR T
e
C = R b^2

Exercícios relacionados