Se você fizer um buraco em um recipiente cheio de gás, o gás começará a vazar. Neste problema você fará uma estimativa aproximada da taxa na qual o gás escapa por um buraco. (Este processo é chamado de efusão, pelo menos quando o buraco é suficientemente pequeno.)
c-) Se retirarmos agora esta pequena parte da parede do recipiente, as moléculas que teriam colidido com ela escaparão pelo buraco. Supondo que nada entre pelo buraco, mostre que o número N de moléculas dentro do recipiente em função do tempo é governado pela equação diferencial
d Nd t=N2 V raizk Tm

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o processo de efusão, que é basicamente o gás escapando por um buraco minúsculo em um recipiente. A gente precisa mostrar que o número de moléculas d Nd t=N2 V raizk Tm dentro do recipiente ao longo do tempo é governado pela equação diferencial:
Vamos usar conceitos de cinética dos gases e equações diferenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando o gás escapa. As moléculas que atingem o buraco têm uma certa probabilidade de sair. A taxa de saída depende da velocidade média das moléculas e da área do buraco.

Passo 3

A velocidade média das moléculas pode ser calculada usando a energia cinética média. A energia cinética média de uma molécula é , onde é a massa da molécula, é a constante de Boltzmann e é a temperatura.

Passo 4

Resolvendo para lang<= v rang<= = raiz3 k Tm , temos:
Mas para a efusão, consideramos a velocidade média na direção do buraco, então usamos .

Passo 5

A taxa de saída das moléculas é proporcional à velocidade média e à densidade de moléculas próximas ao buraco. A densidade de moléculas é , onde é o volume do recipiente.

Passo 6

Então, a taxa de mudança no número de moléculas dentro do recipiente é:
d Nd t = - NV times raizk Tm times A
Onde é a área do buraco. Como o buraco é pequeno, podemos considerar como uma constante que absorvemos na expressão.

Passo 7

Para simplificar, introduzimos um fator de d Nd t = - N2 V raizk Tm que leva em conta a direção das velocidades das moléculas (apenas metade estão indo em direção ao buraco). Assim, a equação fica:

Resposta

Portanto, mostramos que o número de moléculas d Nd t=N2 V raizk Tm dentro do recipiente em função do tempo é governado pela equação diferencial:

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