Se você fizer um buraco em um recipiente cheio de gás, o gás começará a vazar. Neste problema você fará uma estimativa aproximada da taxa na qual o gás escapa por um buraco. (Este processo é chamado de efusão, pelo menos quando o buraco é suficientemente pequeno.)
c-) Se retirarmos agora esta pequena parte da parede do recipiente, as moléculas que teriam colidido com ela escaparão pelo buraco. Supondo que nada entre pelo buraco, mostre que o número N de moléculas dentro do recipiente em função do tempo é governado pela equação diferencial
c-) Se retirarmos agora esta pequena parte da parede do recipiente, as moléculas que teriam colidido com ela escaparão pelo buraco. Supondo que nada entre pelo buraco, mostre que o número N de moléculas dentro do recipiente em função do tempo é governado pela equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o processo de efusão, que é basicamente o gás escapando por um buraco minúsculo em um recipiente. A gente precisa mostrar que o número de moléculas
dentro do recipiente ao longo do tempo
é governado pela equação diferencial:
Vamos usar conceitos de cinética dos gases e equações diferenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece quando o gás escapa. As moléculas que atingem o buraco têm uma certa probabilidade de sair. A taxa de saída depende da velocidade média das moléculas e da área do buraco.
Passo 3
A velocidade média das moléculas pode ser calculada usando a energia cinética média. A energia cinética média de uma molécula é
, onde
é a massa da molécula,
é a constante de Boltzmann e
é a temperatura.
Passo 4
Resolvendo para
, temos:
Mas para a efusão, consideramos a velocidade média na direção do buraco, então usamos
.
Passo 5
A taxa de saída das moléculas é proporcional à velocidade média e à densidade de moléculas próximas ao buraco. A densidade de moléculas é
, onde
é o volume do recipiente.
Passo 6
Então, a taxa de mudança no número de moléculas dentro do recipiente é:
Onde
é a área do buraco. Como o buraco é pequeno, podemos considerar
como uma constante que absorvemos na expressão.
Passo 7
Para simplificar, introduzimos um fator de
que leva em conta a direção das velocidades das moléculas (apenas metade estão indo em direção ao buraco). Assim, a equação fica:
Resposta
Portanto, mostramos que o número de moléculas
dentro do recipiente em função do tempo
é governado pela equação diferencial: