Bismuto e cádmio são completamente imiscíveis na fase sólida. A
estão em equilíbrio Bi sólido e solução, sendo que essa possui
molar de Bi. O eutético tem
de Bi e cristaliza a
. Calcule a quantidade de Bi sólido e de solução em equilíbrio quando uma mistura fundida é resfriada até
. Determine qual a quantidade máxima de Bi sólido puro que pode ser obtida ao resfriar 1 mol de mistura contendo
molar de Bi ?
As temperaturas de fusão são 268 e
para o Bi e Cd e as massas molares são 209 e
. (R:
de
de solução e
de Bi ).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Dados fornecidos:
- A
há equilíbrio entre Bi sólido (fase sólida pura de bismuto) e uma solução líquida cuja composição é molar de Bi (isso está no enunciado). - O eutético tem
molar de Bi e solidifica a . - Massas molares:
e . - Temperaturas de fusão dadas (não serão necessárias para os cálculos numéricos pedidos, servem só de contexto):
(Bi) e (Cd).
- A
- Perguntas:
- Calcular a quantidade de Bi sólido e de solução em equilíbrio quando uma mistura fundida é resfriada até
. - Determinar a quantidade máxima de Bi sólido puro que pode ser obtida ao resfriar
mol de mistura contendo molar de Bi.
- Calcular a quantidade de Bi sólido e de solução em equilíbrio quando uma mistura fundida é resfriada até
Observação importante: para aplicar a regra da alavanca/ balanço de material precisamos saber a composição global da mistura ao ser resfriada até
. A segunda pergunta dá explicitamente a composição global (
molar de Bi) para o caso de
mol, então esse caso será resolvido explicitamente. No Passo 2 explico a ferramenta (regra da alavanca) e como aplicar ao caso geral e ao caso específico pedido.
Passo 2
Explicação didática da ferramenta que vamos usar — balanço de matéria (regra da alavanca) aplicada a um diagrama de fase binário com sólido imiscível:
- Quando um sistema binário tem, a uma certa temperatura, coexistência de um sólido puro (aqui Bi sólido, composição
) e de uma solução líquida com fração molar de Bi (aqui ), a conservação das mols de Bi exige: onde: -
é a fração molar global de Bi na amostra inicial (antes do equilíbrio), -
é a fração molar (por mol total) que está na fase sólida Bi, -
é a fração molar que fica no líquido (solução).
-
- Como o sólido é Bi puro,
. Assim a equação fica: Resolvendo para : Essa é a forma da “regra da alavanca” (balanço de material) para o caso de uma fase sólida pura e solução líquida. Note que: - Se
então : não se forma sólido (toda amostra está na composição da solução líquida). - Se
então : forma-se sólido Bi primário até que o líquido atinja . - Se
então (não físico): significa que, para formar Bi sólido nessa temperatura, a composição inicial teria de ser maior que .
- Se
Passo 3
Aplicação da fórmula ao caso geral pedido (mistura fundida resfriada até
):
- A temperatura
corresponde a coexistência de Bi sólido e solução líquida com (dado). - Para calcular quanto de Bi sólido e quanto de solução existem em equilíbrio precisamos da composição global
da mistura inicial. O enunciado da segunda pergunta dá explicitamente para o caso de mol, então vou aplicar a regra da alavanca para esse caso prático (1 mol, Bi). - Inserindo na fórmula:
Interpretação: se a composição global da amostra é exatamente molar de Bi, então ao chegar a a composição global coincide com a composição da solução líquida em equilíbrio; portanto ainda não haverá formação de Bi sólido — toda a amostra permanece líquida na composição Bi. Em outras palavras, o aparecimento de sólido Bi só começa para composições iniciais maiores que Bi (ou se o resfriamento descer suficientemente para além do ponto em que a solução deixa de ser estável).
Passo 4
Cálculo prático das massas para o caso de
mol de mistura com
molar de Bi (isto responde à segunda pergunta e também ilustra a primeira com números):
- Primeiro calculemos a massa total de
mol da mistura com Bi e Cd: - mols de Bi
. Massa de Bi inicial . - mols de Cd
. Massa de Cd inicial . - massa total da amostra
Isso já responde parte do enunciado: a massa demol da mistura é . Se ela for resfriada até e a composição global for Bi, então como vimos no Passo 3 não haverá Bi sólido formado; toda a massa permanece como solução líquida com Bi.
- mols de Bi
- Portanto, ao resfriar a amostra
mol ( ) até quando sua composição global é de Bi: - massa de Bi sólido presente em equilíbrio a
: , - massa de solução líquida (a amostra inteira):
.
- massa de Bi sólido presente em equilíbrio a
Passo 5
Cálculo da quantidade máxima de Bi sólido puro que pode ser obtida por cristalização ao resfriar 1 mol da mistura
Bi até o ponto eutético:
- Explicação física: quando resfriamos a partir do líquido a temperaturas abaixo do ponto em que aparece o primeiro sólido até chegar ao eutético (
), forma-se Bi sólido primário enquanto a composição do líquido desloca-se ao longo da curva liquidus até alcançar a composição eutética . No momento em que o líquido atingir Bi (eutético), a cristalização primária de Bi cessa e o restante do líquido solidifica como eutético (mistura simultânea). - Usamos a mesma equação de balanço (agora no estado em que a fase líquida restante tem
). A fração molar de sólido Bi formado antes do eutético é: - Em moles:
- Em massa:
- Arredondando razoavelmente,
de Bi sólido puro podem ser obtidos ao resfriar mol da mistura Bi até que o restante do líquido atinja o eutético; depois disso, o restante do líquido solidifica como eutético (não produzindo Bi puro adicional).
- Arredondando razoavelmente,
- Observação sobre o valor numérico dado no enunciado: o enunciado inclui um resultado numérico
. Esse pequeno desvio numérico em relação ao meu cálculo com provavelmente é apenas diferença de arredondamento ou do valor usado para (mas verbatim usei o valor fornecido ).
Resposta
Bi sólido em equilíbrio a
(para 1 mol com
mol Bi):
massa total da amostra de mol com
Bi (isto é, massa da solução se não houver sólido):
quantidade máxima de Bi sólido puro obtida ao resfriar mol com
Bi até o eutético:
massa total da amostra de
quantidade máxima de Bi sólido puro obtida ao resfriar