Bismuto e cádmio são completamente imiscíveis na fase sólida. A 220^{\circ} \mathrm{C} estão em equilíbrio Bi sólido e solução, sendo que essa possui 80 \% molar de Bi. O eutético tem 70 \% de Bi e cristaliza a 195^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a quantidade de Bi sólido e de solução em equilíbrio quando uma mistura fundida é resfriada até 220^{\circ} \mathrm{C}. Determine qual a quantidade máxima de Bi sólido puro que pode ser obtida ao resfriar 1 mol de mistura contendo 80 \% molar de Bi ?
As temperaturas de fusão são 268 e 317^{\circ} \mathrm{C} para o Bi e Cd e as massas molares são 209 e 112,4 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}. (R: 37,62 \mathrm{~g} de \mathrm{Bi} ; 189,68 \mathrm{~g} de solução e 68,97 \mathrm{~g} de Bi ).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • A 220^\circ\mathrm{C} há equilíbrio entre Bi sólido (fase sólida pura de bismuto) e uma solução líquida cuja composição é \,80\% molar de Bi (isso está no enunciado).
    • O eutético tem 70\% molar de Bi e solidifica a 195^\circ\mathrm{C}.
    • Massas molares: \,M_{\mathrm{Bi}}=209\\ \mathrm{g/mol} e \,M_{\mathrm{Cd}}=112{,}4\\ \mathrm{g/mol}.
    • Temperaturas de fusão dadas (não serão necessárias para os cálculos numéricos pedidos, servem só de contexto): \,268^\circ\mathrm{C} (Bi) e \,317^\circ\mathrm{C} (Cd).
  • Perguntas:
    1. Calcular a quantidade de Bi sólido e de solução em equilíbrio quando uma mistura fundida é resfriada até 220^\circ\mathrm{C}.
    2. Determinar a quantidade máxima de Bi sólido puro que pode ser obtida ao resfriar 1 mol de mistura contendo 80\% molar de Bi.
Observação importante: para aplicar a regra da alavanca/ balanço de material precisamos saber a composição global da mistura ao ser resfriada até 220^\circ\mathrm{C}. A segunda pergunta dá explicitamente a composição global ( 80\% molar de Bi) para o caso de 1 mol, então esse caso será resolvido explicitamente. No Passo 2 explico a ferramenta (regra da alavanca) e como aplicar ao caso geral e ao caso específico pedido.

Passo 2

Explicação didática da ferramenta que vamos usar — balanço de matéria (regra da alavanca) aplicada a um diagrama de fase binário com sólido imiscível:
  • Quando um sistema binário tem, a uma certa temperatura, coexistência de um sólido puro (aqui Bi sólido, composição \,x_{\mathrm{Bi}}^{s}=1) e de uma solução líquida com fração molar de Bi \,x_L (aqui \,x_L=0{,}80), a conservação das mols de Bi exige: x_0 = f_s\cdot x_{\mathrm{Bi}}^{s} + (1-f_s)\cdot x_L,onde:
    • \,x_0 é a fração molar global de Bi na amostra inicial (antes do equilíbrio),
    • \,f_s é a fração molar (por mol total) que está na fase sólida Bi,
    • \,1-f_s é a fração molar que fica no líquido (solução).
  • Como o sólido é Bi puro, x_{\mathrm{Bi}}^{s}=1. Assim a equação fica: x_0 = f_s\cdot 1 + (1-f_s)\cdot x_L.Resolvendo para f_s: f_s = \frac{x_0 - x_L}{1 - x_L}.Essa é a forma da “regra da alavanca” (balanço de material) para o caso de uma fase sólida pura e solução líquida. Note que:
    • Se x_0=x_L então f_s=0: não se forma sólido (toda amostra está na composição da solução líquida).
    • Se x_0>x_L então f_s>0: forma-se sólido Bi primário até que o líquido atinja x_L.
    • Se x_0<x_L então f_s<0 (não físico): significa que, para formar Bi sólido nessa temperatura, a composição inicial teria de ser maior que x_L.

Passo 3

Aplicação da fórmula ao caso geral pedido (mistura fundida resfriada até 220^\circ\mathrm{C}):
  • A temperatura 220^\circ\mathrm{C} corresponde a coexistência de Bi sólido e solução líquida com \,x_L=0{,}80 (dado).
  • Para calcular quanto de Bi sólido e quanto de solução existem em equilíbrio precisamos da composição global \,x_0 da mistura inicial. O enunciado da segunda pergunta dá explicitamente \,x_0=0{,}80 para o caso de 1 mol, então vou aplicar a regra da alavanca para esse caso prático (1 mol, 80\% Bi).
  • Inserindo na fórmula: f_s = \frac{x_0 - x_L}{1 - x_L} = \frac{0{,}80 - 0{,}80}{1 - 0{,}80} = \frac{0}{0{,}20} = 0.Interpretação: se a composição global da amostra é exatamente \,80\% molar de Bi, então ao chegar a 220^\circ\mathrm{C} a composição global coincide com a composição da solução líquida em equilíbrio; portanto ainda não haverá formação de Bi sólido — toda a amostra permanece líquida na composição 80\% Bi. Em outras palavras, o aparecimento de sólido Bi só começa para composições iniciais maiores que 80\% Bi (ou se o resfriamento descer suficientemente para além do ponto em que a solução deixa de ser estável).

Passo 4

Cálculo prático das massas para o caso de 1 mol de mistura com 80\% molar de Bi (isto responde à segunda pergunta e também ilustra a primeira com números):
  • Primeiro calculemos a massa total de 1 mol da mistura com x_0=0{,}80 Bi e 0{,}20 Cd:
    • mols de Bi =0{,}80\\ \mathrm{mol}. Massa de Bi inicial =0{,}80\times 209\\ \mathrm{g/mol}=167{,}20\\ \mathrm{g}.
    • mols de Cd =0{,}20\\ \mathrm{mol}. Massa de Cd inicial =0{,}20\times 112{,}4\\ \mathrm{g/mol}=22{,}48\\ \mathrm{g}.
    • massa total da amostra =167{,}20+22{,}48=189{,}68\\ \mathrm{g}.
      Isso já responde parte do enunciado: a massa de 1 mol da mistura é \,189{,}68\\ \mathrm{g}. Se ela for resfriada até 220^\circ\mathrm{C} e a composição global for 80\% Bi, então como vimos no Passo 3 não haverá Bi sólido formado; toda a massa permanece como solução líquida com 80\% Bi.
  • Portanto, ao resfriar a amostra 1 mol ( 189{,}68\\ \mathrm{g}) até 220^\circ\mathrm{C} quando sua composição global é 80\% de Bi:
    • massa de Bi sólido presente em equilíbrio a 220^\circ\mathrm{C}: \,0\\ \mathrm{g},
    • massa de solução líquida (a amostra inteira): \,189{,}68\\ \mathrm{g}.

Passo 5

Cálculo da quantidade máxima de Bi sólido puro que pode ser obtida por cristalização ao resfriar 1 mol da mistura 80\% Bi até o ponto eutético:
  • Explicação física: quando resfriamos a partir do líquido a temperaturas abaixo do ponto em que aparece o primeiro sólido até chegar ao eutético ( 195^\circ\mathrm{C}), forma-se Bi sólido primário enquanto a composição do líquido desloca-se ao longo da curva liquidus até alcançar a composição eutética x_e=0{,}70. No momento em que o líquido atingir 70\% Bi (eutético), a cristalização primária de Bi cessa e o restante do líquido solidifica como eutético (mistura simultânea).
  • Usamos a mesma equação de balanço (agora no estado em que a fase líquida restante tem x_L = x_e = 0{,}70). A fração molar de sólido Bi formado antes do eutético é: f_{s,\max} = \frac{x_0 - x_e}{1 - x_e} = \frac{0{,}80 - 0{,}70}{1 - 0{,}70}=\frac{0{,}10}{0{,}30}=\frac{1}{3}\approx 0{,}33333\\ \text{(mol de sólido Bi por mol de mistura)}.ó
  • Em moles: n_{\mathrm{Bi,\,sólido}} = \tfrac{1}{3}\\ \mathrm{mol}.ó
  • Em massa: m_{\mathrm{Bi,\,sólido}} = n_{\mathrm{Bi,\,sólido}}\times M_{\mathrm{Bi}} = \tfrac{1}{3}\times 209\\ \mathrm{g/mol}=69{,}666\\ \mathrm{g}.óó
    • Arredondando razoavelmente, \,69{,}67\\ \mathrm{g} de Bi sólido puro podem ser obtidos ao resfriar 1 mol da mistura 80\% Bi até que o restante do líquido atinja o eutético; depois disso, o restante do líquido solidifica como eutético (não produzindo Bi puro adicional).
  • Observação sobre o valor numérico dado no enunciado: o enunciado inclui um resultado numérico \,68{,}97\\ \mathrm{g}. Esse pequeno desvio numérico em relação ao meu cálculo com M_{\mathrm{Bi}}=209\\ \mathrm{g/mol} provavelmente é apenas diferença de arredondamento ou do valor usado para M_{\mathrm{Bi}} (mas verbatim usei o valor fornecido 209\\ \mathrm{g/mol}).

Resposta

Bi sólido em equilíbrio a 220^\circ\mathrm{C} (para 1 mol com 80\% mol Bi): 0\\ \mathrm{g}
massa total da amostra de 1 mol com 80\% Bi (isto é, massa da solução se não houver sólido): 189{,}68\\ \mathrm{g}
quantidade máxima de Bi sólido puro obtida ao resfriar 1 mol com 80\% Bi até o eutético: 69{,}67\\ \mathrm{g}

Exercícios relacionados