™ Gotas, de 2 cm de raio, de benzeno, tolueno, etanol e metanol, são colocadas em contato com ar seco, a
e 1 atm . Estabeleça uma ordem crescente de tempo, para que as esferas evaporem completamente.
Composto
Benzeno-ar
0,0962
0,0698
Tolueno-ar
0,0844
0,0374
Metanol-ar
0,162
0,1669
Etanol-ar
0,132
0,2115
| Composto |
|
|
| Benzeno-ar | 0,0962 | 0,0698 |
| Tolueno-ar | 0,0844 | 0,0374 |
| Metanol-ar | 0,162 | 0,1669 |
| Etanol-ar | 0,132 | 0,2115 |
Passo 1
O enunciado dá gotas esféricas de raio
de quatro compostos (benzeno, tolueno, etanol e metanol) em ar seco a
e
. A tabela fornecida no enunciado dá para cada composto os valores de
(coeficiente de difusão em
) e de
(pressão de vapor em atm). O que nos pedem é: estabelecer a ordem crescente de tempo para que as esferas evaporem completamente (ou seja, ordenar os compostos do que evapora mais rápido para o que evapora mais devagar). Informações da tabela (vou usar explicitamente estes dados):
Passo 2
Como a gota é uma esfera isolada em ar seco e a evaporação cria uma camada de vapor ao redor, podemos tratar o transporte de massa por difusão radial numa aproximação quasi-estacionária. Para difusão em sistema binário esférico, integrando a equação de difusão com o efeito do escoamento convectivo total (Stefan flow) obtém-se a expressão para o fluxo molar total de vapor
evaporando da superfície da esfera:
Explicando cada termo:
-
é o fluxo molar de vapor (mol/s) saindo da esfera. -
é o raio instantâneo da esfera (cm). -
é o coeficiente de difusão do vapor em ar (cm^2/s) — dado na tabela. -
é a concentração molar total do gás distante da gota (mol/cm^3), dada por . -
é a fração molar do vapor na superfície da gota, igual a porque a pressão parcial na superfície é a pressão de vapor do líquido puro. -
é a correção logarítmica que surge ao integrar a equação de difusão em coordenadas esféricas com fluxo total não nulo (Stefan flow).
Passo 3
Relacionamos a perda de massa da gota com
. A taxa de perda de massa do líquido (kg/s) é
, onde
é a massa molar do líquido (g/mol). Por outro lado, a variação de massa da esfera é
onde
é a densidade do líquido (g/cm^3). Igualando as expressões e substituindo
achamos:
Cancelando
obtemos a equação diferencial
Integramos de
(raio inicial) até
para obter o tempo de evaporação total
:
A integral dá
à esquerda, então
Observação prática: todas as gotas têm o mesmo
, a mesma pressão total
e a mesma temperatura
, então para comparar tempos relativos entre compostos basta comparar a quantidade
O tempo cresce com essa razão. Menor valor → evapora mais rápido.
Passo 4
Calculemos
a partir de
(tabela) e
:
Logo os fatores logarítmicos (vou calcular
) são:
Passo 5
Calculemos
(concentração molar do ar seco a
e
):
Passo 6
Como o enunciado não deu densidades nem massas molares, uso valores típicos à
(valores literais aproximados de tabela):
(estes valores são os usuais em manuais; pequenas variações numéricas não alteram a ordem qualitativa que vamos obter.)]
Passo 7
Para o caso numérico com
podemos simplificar a fórmula:
Com
temos
, então
Vou calcular
(em segundos) para cada composto usando os números apresentados.
Passo 8
Cálculos numéricos (apresento passo a passo para cada composto).
Benzeno:
Tolueno:
Metanol:
Etanol:
Resumo dos tempos aproximados:
Passo 9
Interpretação final e comentário prático: o tempo de evaporação depende de três fatores principais que aparecem na fórmula: (i) coeficiente de difusão
(quanto maior, mais rápido espalha-se o vapor), (ii) pressão de vapor
(via o termo logarítmico — quanto maior
, maior a fração molar na superfície e maior o gradiente), e (iii) propriedades do líquido
e
(afetando a massa a ser evaporada por mol de vapor). No nosso cálculo numérico, embora o metanol tenha
grande, o etanol tem
maior e, com as massas molares e densidades escolhidas, o etanol saiu como o mais rápido. Portanto a ordem crescente de tempo (do que demora menos para evaporar ao que demora mais) é: etanol, metanol, benzeno, tolueno.