™ Gotas, de 2 cm de raio, de benzeno, tolueno, etanol e metanol, são colocadas em contato com ar seco, a 25^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm . Estabeleça uma ordem crescente de tempo, para que as esferas evaporem completamente.
Composto \mathbf{D}_{\mathrm{AB}}\left(\mathbf{c m}^{2} / \mathbf{s}\right) \mathbf{p}_{\mathrm{v}}(\mathbf{a t m})
Benzeno-ar 0,0962 0,0698
Tolueno-ar 0,0844 0,0374
Metanol-ar 0,162 0,1669
Etanol-ar 0,132 0,2115

Passo 1

O enunciado dá gotas esféricas de raio 2\\ \text{cm} de quatro compostos (benzeno, tolueno, etanol e metanol) em ar seco a 25^\circ\mathrm{C} e 1\\ \text{atm}. A tabela fornecida no enunciado dá para cada composto os valores de \,D_{AB} (coeficiente de difusão em \mathrm{cm^2/s}) e de p_v (pressão de vapor em atm). O que nos pedem é: estabelecer a ordem crescente de tempo para que as esferas evaporem completamente (ou seja, ordenar os compostos do que evapora mais rápido para o que evapora mais devagar). Informações da tabela (vou usar explicitamente estes dados): \begin{array}{l c c} \text{Composto} & D_{AB}\;(\mathrm{cm^2/s}) & p_v\;(\mathrm{atm})\\\ \text{Benzeno} & 0{,}0962 & 0{,}0698\\\ \text{Tolueno} & 0{,}0844 & 0{,}0374\\\ \text{Metanol} & 0{,}162 & 0{,}1669\\\ \text{Etanol} & 0{,}132 & 0{,}2115 \end{array}

Passo 2

Como a gota é uma esfera isolada em ar seco e a evaporação cria uma camada de vapor ao redor, podemos tratar o transporte de massa por difusão radial numa aproximação quasi-estacionária. Para difusão em sistema binário esférico, integrando a equação de difusão com o efeito do escoamento convectivo total (Stefan flow) obtém-se a expressão para o fluxo molar total de vapor A evaporando da superfície da esfera:
N_A \;=\; 4\pi R\, D_{AB}\, c_\infty \,\ln\!\left(\frac{1}{1-y_{A,s}}\right).
Explicando cada termo:
  • N_A é o fluxo molar de vapor A (mol/s) saindo da esfera.
  • R é o raio instantâneo da esfera (cm).
  • D_{AB} é o coeficiente de difusão do vapor em ar (cm^2/s) — dado na tabela.
  • c_\infty é a concentração molar total do gás distante da gota (mol/cm^3), dada por c_\infty = \dfrac{P}{R_u T}.
  • y_{A,s} é a fração molar do vapor A na superfície da gota, igual a \dfrac{p_v}{P} porque a pressão parcial na superfície é a pressão de vapor do líquido puro.
  • \ln\!\left(\dfrac{1}{1-y_{A,s}}\right) é a correção logarítmica que surge ao integrar a equação de difusão em coordenadas esféricas com fluxo total não nulo (Stefan flow).

Passo 3

Relacionamos a perda de massa da gota com N_A. A taxa de perda de massa do líquido (kg/s) é \dot m = N_A M_A, onde M_A é a massa molar do líquido (g/mol). Por outro lado, a variação de massa da esfera é
\dot m \;=\; -\frac{d}{dt}\left(\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho_\ell\right) \;=\; -4\pi R^{2}\rho_\ell \frac{dR}{dt},
onde \rho_\ell é a densidade do líquido (g/cm^3). Igualando as expressões e substituindo N_A achamos:
4\pi R\, D_{AB}\, c_\infty \,\ln\!\left(\frac{1}{1-y_{A,s}}\right) M_A \;=\; -4\pi R^{2}\rho_\ell \frac{dR}{dt}.
Cancelando 4\pi R obtemos a equação diferencial
\frac{dR}{dt} \;=\; -\frac{D_{AB} c_\infty M_A}{\rho_\ell}\,\frac{\ln\!\left(\dfrac{1}{1-y_{A,s}}\right)}{R}.
Integramos de R_0 (raio inicial) até 0 para obter o tempo de evaporação total t:
\int_{R_0}^{0} R\,dR \;=\; -\frac{D_{AB} c_\infty M_A\ln\!\left(\dfrac{1}{1-y_{A,s}}\right)}{\rho_\ell}\int_{0}^{t} dt.
A integral dá -\dfrac{1}{2}R_0^{2} à esquerda, então
t \;=\; \frac{\rho_\ell R_0^{2}}{2 D_{AB} c_\infty M_A \,\ln\!\left(\dfrac{1}{1-y_{A,s}}\right)}.
Observação prática: todas as gotas têm o mesmo R_0, a mesma pressão total P e a mesma temperatura T, então para comparar tempos relativos entre compostos basta comparar a quantidade
\frac{\rho_\ell}{D_{AB} M_A \ln\!\left(\dfrac{1}{1-y_{A,s}}\right)}.
O tempo cresce com essa razão. Menor valor → evapora mais rápido.

Passo 4

Calculemos y_{A,s} a partir de p_v (tabela) e P=1\\ \text{atm}:
y_{A,s} = \frac{p_v}{P} = p_v.
Logo os fatores logarítmicos (vou calcular \ln\!\left(\dfrac{1}{1-y_{A,s}}\right) = -\ln(1-y_{A,s})) são:
\begin{array}{l l} \text{Benzeno: } & y=0{,}0698,\quad \ln\!\left(\dfrac{1}{1-y}\right)= -\ln(0{,}9302)=0{,}0724,\\[4pt] \text{Tolueno: } & y=0{,}0374,\quad \ln\!\left(\dfrac{1}{1-y}\right)= -\ln(0{,}9626)=0{,}0382,\\[4pt] \text{Metanol: } & y=0{,}1669,\quad \ln\!\left(\dfrac{1}{1-y}\right)= -\ln(0{,}8331)=0{,}1821,\\[4pt] \text{Etanol: } & y=0{,}2115,\quad \ln\!\left(\dfrac{1}{1-y}\right)= -\ln(0{,}7885)=0{,}2372. \end{array}]

Passo 5

Calculemos c_\infty (concentração molar do ar seco a 1\\ \text{atm} e 25^\circ\mathrm{C}):
T = 25^\circ\mathrm{C} = 298{,}15\\ \mathrm{K},\qquad R_u = 82{,}057\\ \mathrm{cm^3\;atm\;mol^{-1}\;K^{-1}},
c_\infty = \frac{P}{R_u T} = \frac{1\\ \text{atm}}{82{,}057\cdot 298{,}15}\approx 4{,}088\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol/cm^3}.

Passo 6

Como o enunciado não deu densidades nem massas molares, uso valores típicos à 25^\circ\mathrm{C} (valores literais aproximados de tabela):
\begin{array}{l l} \text{Benzeno: } & \rho_\ell=0{,}876\\ \mathrm{g/cm^3},\quad M=78{,}11\\ \mathrm{g/mol},\\[2pt] \text{Tolueno: } & \rho_\ell=0{,}867\\ \mathrm{g/cm^3},\quad M=92{,}14\\ \mathrm{g/mol},\\[2pt] \text{Metanol: } & \rho_\ell=0{,}791\\ \mathrm{g/cm^3},\quad M=32{,}04\\ \mathrm{g/mol},\\[2pt] \text{Etanol: } & \rho_\ell=0{,}789\\ \mathrm{g/cm^3},\quad M=46{,}07\\ \mathrm{g/mol}. \end{array}
(estes valores são os usuais em manuais; pequenas variações numéricas não alteram a ordem qualitativa que vamos obter.)]

Passo 7

Para o caso numérico com R_0=2\\ \text{cm} podemos simplificar a fórmula:
t \;=\; \frac{\rho_\ell R_0^2}{2 D_{AB} c_\infty M_A \ln\!\left(\dfrac{1}{1-y_{A,s}}\right)}.
Com R_0=2\\ \text{cm} temos R_0^2=4\\ \text{cm}^2, então
t \;=\; \frac{2\,\rho_\ell}{D_{AB}\, c_\infty\, M_A\, \ln\!\left(\dfrac{1}{1-y_{A,s}}\right)}.
Vou calcular t (em segundos) para cada composto usando os números apresentados.

Passo 8

Cálculos numéricos (apresento passo a passo para cada composto).
Benzeno:
\begin{aligned} D_{AB} c_\infty &= 0{,}0962\cdot 4{,}088\times 10^{-5}=3{,}932\times 10^{-6},\\\ D_{AB} c_\infty M &= 3{,}932\times 10^{-6}\cdot 78{,}11 = 3{,}069\times 10^{-4},\\\ \text{denom} &= 3{,}069\times 10^{-4}\cdot 0{,}0724 = 2{,}22\times 10^{-5},\\\ t &= \dfrac{2\cdot 0{,}876}{2{,}22\times 10^{-5}} \approx 7{,}90\times 10^{4}\\ \mathrm{s} \approx 21{,}9\\ \mathrm{h}. \end{aligned}
Tolueno:
\begin{aligned} D_{AB} c_\infty &= 0{,}0844\cdot 4{,}088\times 10^{-5}=3{,}451\times 10^{-6},\\\ D_{AB} c_\infty M &= 3{,}451\times 10^{-6}\cdot 92{,}14 = 3{,}179\times 10^{-4},\\\ \text{denom} &= 3{,}179\times 10^{-4}\cdot 0{,}0382 = 1{,}21\times 10^{-5},\\\ t &= \dfrac{2\cdot 0{,}867}{1{,}21\times 10^{-5}} \approx 1{,}43\times 10^{5}\\ \mathrm{s} \approx 39{,}7\\ \mathrm{h}. \end{aligned}
Metanol:
\begin{aligned} D_{AB} c_\infty &= 0{,}162\cdot 4{,}088\times 10^{-5}=6{,}627\times 10^{-6},\\\ D_{AB} c_\infty M &= 6{,}627\times 10^{-6}\cdot 32{,}04 = 2{,}123\times 10^{-4},\\\ \text{denom} &= 2{,}123\times 10^{-4}\cdot 0{,}1821 = 3{,}87\times 10^{-5},\\\ t &= \dfrac{2\cdot 0{,}791}{3{,}87\times 10^{-5}} \approx 4{,}09\times 10^{4}\\ \mathrm{s} \approx 11{,}4\\ \mathrm{h}. \end{aligned}
Etanol:
\begin{aligned} D_{AB} c_\infty &= 0{,}132\cdot 4{,}088\times 10^{-5}=5{,}393\times 10^{-6},\\\ D_{AB} c_\infty M &= 5{,}393\times 10^{-6}\cdot 46{,}07 = 2{,}484\times 10^{-4},\\\ \text{denom} &= 2{,}484\times 10^{-4}\cdot 0{,}2372 = 5{,}89\times 10^{-5},\\\ t &= \dfrac{2\cdot 0{,}789}{5{,}89\times 10^{-5}} \approx 2{,}68\times 10^{4}\\ \mathrm{s} \approx 7{,}4\\ \mathrm{h}. \end{aligned}
Resumo dos tempos aproximados:
\begin{array}{l l} \text{Etanol: } & 7{,}4\\ \mathrm{h},\\[2pt] \text{Metanol: } & 11{,}4\\ \mathrm{h},\\[2pt] \text{Benzeno: } & 21{,}9\\ \mathrm{h},\\[2pt] \text{Tolueno: } & 39{,}7\\ \mathrm{h}. \end{array}]

Passo 9

Interpretação final e comentário prático: o tempo de evaporação depende de três fatores principais que aparecem na fórmula: (i) coeficiente de difusão D_{AB} (quanto maior, mais rápido espalha-se o vapor), (ii) pressão de vapor p_v (via o termo logarítmico — quanto maior p_v, maior a fração molar na superfície e maior o gradiente), e (iii) propriedades do líquido \rho_\ell e M (afetando a massa a ser evaporada por mol de vapor). No nosso cálculo numérico, embora o metanol tenha D_{AB} grande, o etanol tem p_v maior e, com as massas molares e densidades escolhidas, o etanol saiu como o mais rápido. Portanto a ordem crescente de tempo (do que demora menos para evaporar ao que demora mais) é: etanol, metanol, benzeno, tolueno.

Resposta

\text{Etanol} < \text{Metanol} < \text{Benzeno} < \text{Tolueno}

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