(CONDENSAÇÃO) O condensador de uma termoéletrica a vapor opera a uma temperatura de 40^{\circ} \mathrm{C}. O vapor condensa nessa pressão sobre a superfície externa de tubos horizontais através dos quais circula água de resfriamento. O diâmetro externo dos tubos tem 3 cm , e a superfície externa é mantida a 30^{\circ} \mathrm{C}. Determine (a) a taxa de trans- ferência de calor para a água de resfriamento que circula nos tubos e (b) a taxa de condensação de vapor por unidade de comprimento do tubo horizontal.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.\n
  • Dados fornecidos: \n
    T_{\text{sat}}=40^\circ\mathrm{C} (temperatura do vapor que condensa),\n
    a superfície externa do tubo está a T_s=30^\circ\mathrm{C},\n
    o diâmetro externo do tubo é D=0,03\\ \mathrm{m} (portanto r=0,015\\ \mathrm{m}).\n
  • O que é pedido: \n
    (a) a taxa de transferência de calor para a água de resfriamento que circula nos tubos (vamos interpretar isso como a taxa de calor por unidade de comprimento do tubo, q', em \mathrm{W/m});\n
    (b) a taxa de condensação de vapor por unidade de comprimento do tubo (massa condensada por unidade de comprimento, \dot m', em \mathrm{kg/(s\cdot m)}).\n
  • Informação implícita usada: a condensação forma um filme fino de líquido sobre a superfície externa do tubo e o escoamento do filme é governado pela gravidade (condensação laminar de filme). Não há dados de propriedades do líquido no enunciado, então usarei propriedades da água líquida aproximadamente à temperatura de saturação 40^\circ\mathrm{C} (valores típicos de tabela), e verificarei depois a hipótese filme fino.

Passo 2

Escolha do método e ideia física (sem cálculo ainda).\n
  • Para condensação de vapor formando um filme fino que escorre por gravidade sobre uma superfície, usa‑se a análise clássica de Nusselt para filme laminar. Essa análise relaciona o crescimento do filme com o balanço de massa (o líquido que escorre) e o balanço de energia (o calor removido pela condução através do filme causa vaporação/condensação).\n
  • No caso do tubo horizontal, o condensado escorre a partir do topo do tubo até a parte inferior ao longo do arco superior (ângulo de 0 a \pi). Quando o filme é fino em comparação ao raio, cada elemento do arco pode ser tratado como um “pequeno trecho vertical” e a solução de Nusselt para placa vertical pode ser aplicada integrando ao longo do arco. Assim, vamos aplicar a fórmula de Nusselt adaptada para um cilindro horizontal: a taxa de calor por unidade de comprimento q' é obtida usando a expressão de Nusselt com L=\pi r (comprimento do arco do topo até a parte inferior).

Passo 3

Derivação passo a passo (a “aula” da fórmula de Nusselt para filme em placa vertical — essencial para aplicar ao cilindro).\n
  1. Perfil de velocidade do filme (fluxo laminar impulsionado pela gravidade): para um filme de espessura \delta(x) sobre uma superfície vertical, a equação de equilíbrio de forças (viscosa vs gravidade) fornece o perfil de velocidade unidimensional\n u(z)=\frac{\rho_\ell g}{\mu_\ell}\left(z\,\delta-\frac{z^2}{2}\right),\n
onde z é a coordenada medida a partir da parede ( 0\le z\le\delta), \rho_\ell é a densidade do líquido, \mu_\ell é a viscosidade dinâmica, e g é a aceleração da gravidade.\n
  1. Vazão mássica por unidade de largura (por unidade de comprimento na direção perpendicular ao plano): integramos \rho_\ell u(z) sobre a espessura para obter a vazão mássica por unidade de largura \dot m'':\n \dot m''=\rho_\ell\int_0^{\delta} u(z)\,dz=\rho_\ell\frac{\rho_\ell g}{\mu_\ell}\frac{\delta^3}{3}=\frac{\rho_\ell^2 g}{3\mu_\ell}\,\delta^3.\n
  2. Balanço de energia por unidade de largura: o aumento da vazão mássica ao longo da direção vertical x (porque mais vapor condensa) está relacionado ao fluxo de calor local q''(x) pela energia latente:\n \frac{d\dot m''}{dx}\,h_{fg}=q''(x),\n
onde h_{fg} é o calor latente de vaporização (energia liberada por kg de vapor condensado) e q''(x) é o fluxo de calor por unidade de área projetada (aqui por unidade de largura na direção out-of-plane), que, assumindo condução através do filme, vale\n q''(x)=\frac{k_\ell\,(T_{\text{sat}}-T_w)}{\delta(x)},\n
com k_\ell condutividade térmica do líquido e T_w a temperatura da parede.\n
  1. Substituindo \dot m'' na equação de balanço e igualando com q'' obtemos a equação diferencial para \delta(x):\n \frac{d}{dx}\left(\frac{\rho_\ell^2 g}{3\mu_\ell}\delta^3\right)h_{fg}=\frac{k_\ell\,(T_{\text{sat}}-T_w)}{\delta}.\n
Simplificando e integrando (condição \delta(0)=0) resulta\n \delta(x)=\left(\frac{4\,k_\ell\,(T_{\text{sat}}-T_w)\,\mu_\ell}{\rho_\ell^2 g\,h_{fg}}\,x\right)^{1/4}.\n
  1. O fluxo de calor local q''(x)=k_\ell\Delta T/\delta(x) fica então proporcional a x^{-1/4}. Integrando q''(x) de x=0 até x=L (comprimento ao longo do qual o filme escorre) obtemos a transferência de calor total por unidade de largura Q'_L:\n Q'_L=\int_0^L q''(x)\,dx =0{,}943\left(\frac{k_\ell^3\rho_\ell^2 g h_{fg}}{\mu_\ell}\right)^{1/4}(T_{\text{sat}}-T_w)^{3/4}L^{3/4}.\n
(A constante 0{,}943 aparece da integração e da constante 4 no interior da expressão de \delta.)

Passo 4

Aplicação ao tubo horizontal (ligando a placa ao arco do cilindro).\n
  • No cilindro horizontal, o condensado escorre a partir do ponto superior ao longo do arco até a parte inferior; o comprimento efectivo do escoamento é o arco superior de comprimento\n L=\pi r=\frac{\pi D}{2}.\n
  • Podemos então usar a formulação de Nusselt para a “placa” com L=\pi r. A transferência de calor por unidade de comprimento do tubo (ou seja, por metro de comprimento axial do tubo), q', é numericamente igual a Q'_L acima com esse L:\n q'=0{,}943\left(\frac{k_\ell^3\rho_\ell^2 g h_{fg}}{\mu_\ell}\right)^{1/4}(T_{\text{sat}}-T_s)^{3/4}(\pi r)^{3/4}.

Passo 5

Propriedades usadas (valores aproximados à T\approx40^\circ\mathrm{C}; tomo-os como típicos de tabela):\n
\rho_\ell=992\\ \mathrm{kg/m^3},\n
\mu_\ell=6{,}53\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\n
k_\ell=0{,}63\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\n
h_{fg}=2{,}44\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg},\n
g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},\n
\Delta T=T_{\text{sat}}-T_s=40^\circ\mathrm{C}-30^\circ\mathrm{C}=10\\ \mathrm{K},\n
r=0{,}015\\ \mathrm{m}.\n
(Usei valores típicos de tabelas de propriedades para água líquida a 40^\circ\mathrm{C}. Pequenas variações nas propriedades mudam pouco o resultado; mais abaixo verifico a hipótese filme fino.)

Passo 6

Cálculo numérico detalhado de q'.\n
Escrevo a expressão novamente para substituir os números:\n
q'=0{,}943\left(\frac{k_\ell^3\rho_\ell^2 g h_{fg}}{\mu_\ell}\right)^{1/4}\Delta T^{3/4}(\pi r)^{3/4}.\n
Calculemos cada termo com atenção:\n
  • Primeiro o produto dentro da raiz de quarta ordem:\n A=\frac{k_\ell^3\rho_\ell^2 g h_{fg}}{\mu_\ell}.\n
Substituindo valores:\n
k_\ell^3=(0{,}63)^3\approx0{,}25005,\n
\rho_\ell^2=(992)^2=984064,\n
k_\ell^3\rho_\ell^2\approx0{,}25005\times984064\approx2{,}4601\times10^{5},\n
k_\ell^3\rho_\ell^2 g\approx2{,}4601\times10^{5}\times9{,}81\approx2{,}4125\times10^{6},\n
k_\ell^3\rho_\ell^2 g h_{fg}\approx2{,}4125\times10^{6}\times2{,}44\times10^{6}\approx5{,}8885\times10^{12},\n
A=\frac{5{,}8885\times10^{12}}{6{,}53\times10^{-4}}\approx9{,}016\times10^{15}.\n
  • A quarta raiz de A:\n A^{1/4}\approx(9{,}016\times10^{15})^{1/4}\approx9{,}74\times10^{3}.\n
  • Agora \Delta T^{3/4}=10^{3/4}\approx5{,}623.\n
  • E (\pi r)^{3/4}=(\pi\times0{,}015)^{3/4}. Primeiro \pi r\approx0{,}04712\\ \mathrm{m}, e\n (\pi r)^{3/4}\approx0{,}04712^{0{,}75}\approx0{,}1011.\n
  • Agora multiplicamos todos os fatores:\n q'\approx0{,}943\times(9{,}74\times10^{3})\times5{,}623\times0{,}1011.\n
Cálculo passo a passo:\n
(9{,}74\times10^{3})\times5{,}623\approx5{,}48\times10^{4},\n
multiplicando por 0{,}1011 \approx5{,}54\times10^{3},\n
e multiplicando por 0{,}943 obtemos\n q'\approx5{,}22\times10^{3}\\ \mathrm{W/m}.\n
Portanto a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo é aproximadamente 5{,}22\\ \mathrm{kW} por metro de comprimento de tubo.

Passo 7

Cálculo da taxa de condensação por unidade de comprimento.\n
  • A taxa mássica condensada por unidade de comprimento \dot m' é simplesmente a taxa de calor por unidade de comprimento dividida pelo calor latente:\n \dot m'=\frac{q'}{h_{fg}}.\n
Substituindo valores:\n
\dot m'=\frac{5{,}22\times10^{3}\\ \mathrm{W/m}}{2{,}44\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}}\approx2{,}14\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/(s\cdot m)}.\n
Isto é cerca de 2{,}14\\ \mathrm{g/s} por metro de comprimento do tubo.

Passo 8

Verificação da hipótese filme fino (checar consistência).\n
  • Usamos a expressão para espessura do filme no fim do arco x=L=\pi r:\n \delta(L)=\left(\frac{4k_\ell\Delta T\mu_\ell}{\rho_\ell^2 g h_{fg}}\,L\right)^{1/4}.\n
Substituindo números obtém-se (cálculo resumido) \delta(L)\approx7{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m} (≈ 0{,}076\\ \mathrm{mm}). Comparando com o raio r=15\\ \mathrm{mm}, \delta\ll r (aprox 0{,}5\% de r), logo a hipótese de filme fino é válida e o uso da aproximação de Nusselt está justificado.

Resposta

q'\approx5{,}22\times10^{3}\\ \mathrm{W/m}\n
\dot m'\approx2{,}14\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/(s\cdot m)}

Exercícios relacionados