(CONDENSAÇÃO) O condensador de uma termoéletrica a vapor opera a uma temperatura de
. O vapor condensa nessa pressão sobre a superfície externa de tubos horizontais através dos quais circula água de resfriamento. O diâmetro externo dos tubos tem 3 cm , e a superfície externa é mantida a
. Determine (a) a taxa de trans- ferência de calor para a água de resfriamento que circula nos tubos e (b) a taxa de condensação de vapor por unidade de comprimento do tubo horizontal.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.\n
- Dados fornecidos: \n
(temperatura do vapor que condensa),\n
a superfície externa do tubo está a,\n
o diâmetro externo do tubo é(portanto ).\n - O que é pedido: \n
(a) a taxa de transferência de calor para a água de resfriamento que circula nos tubos (vamos interpretar isso como a taxa de calor por unidade de comprimento do tubo,, em );\n
(b) a taxa de condensação de vapor por unidade de comprimento do tubo (massa condensada por unidade de comprimento,, em ).\n - Informação implícita usada: a condensação forma um filme fino de líquido sobre a superfície externa do tubo e o escoamento do filme é governado pela gravidade (condensação laminar de filme). Não há dados de propriedades do líquido no enunciado, então usarei propriedades da água líquida aproximadamente à temperatura de saturação
(valores típicos de tabela), e verificarei depois a hipótese filme fino.
Passo 2
Escolha do método e ideia física (sem cálculo ainda).\n
- Para condensação de vapor formando um filme fino que escorre por gravidade sobre uma superfície, usa‑se a análise clássica de Nusselt para filme laminar. Essa análise relaciona o crescimento do filme com o balanço de massa (o líquido que escorre) e o balanço de energia (o calor removido pela condução através do filme causa vaporação/condensação).\n
- No caso do tubo horizontal, o condensado escorre a partir do topo do tubo até a parte inferior ao longo do arco superior (ângulo de
a ). Quando o filme é fino em comparação ao raio, cada elemento do arco pode ser tratado como um “pequeno trecho vertical” e a solução de Nusselt para placa vertical pode ser aplicada integrando ao longo do arco. Assim, vamos aplicar a fórmula de Nusselt adaptada para um cilindro horizontal: a taxa de calor por unidade de comprimento é obtida usando a expressão de Nusselt com (comprimento do arco do topo até a parte inferior).
Passo 3
Derivação passo a passo (a “aula” da fórmula de Nusselt para filme em placa vertical — essencial para aplicar ao cilindro).\n
- Perfil de velocidade do filme (fluxo laminar impulsionado pela gravidade): para um filme de espessura
sobre uma superfície vertical, a equação de equilíbrio de forças (viscosa vs gravidade) fornece o perfil de velocidade unidimensional\n \n
onde
é a coordenada medida a partir da parede (
),
é a densidade do líquido,
é a viscosidade dinâmica, e
é a aceleração da gravidade.\n
- Vazão mássica por unidade de largura (por unidade de comprimento na direção perpendicular ao plano): integramos
sobre a espessura para obter a vazão mássica por unidade de largura :\n \n - Balanço de energia por unidade de largura: o aumento da vazão mássica ao longo da direção vertical
(porque mais vapor condensa) está relacionado ao fluxo de calor local pela energia latente:\n \n
onde
é o calor latente de vaporização (energia liberada por kg de vapor condensado) e
é o fluxo de calor por unidade de área projetada (aqui por unidade de largura na direção out-of-plane), que, assumindo condução através do filme, vale\n
\n
com
condutividade térmica do líquido e
a temperatura da parede.\n
- Substituindo
na equação de balanço e igualando com obtemos a equação diferencial para :\n \n
Simplificando e integrando (condição
) resulta\n
\n
- O fluxo de calor local
fica então proporcional a . Integrando de até (comprimento ao longo do qual o filme escorre) obtemos a transferência de calor total por unidade de largura :\n \n
(A constante
aparece da integração e da constante
no interior da expressão de
.)
Passo 4
Aplicação ao tubo horizontal (ligando a placa ao arco do cilindro).\n
- No cilindro horizontal, o condensado escorre a partir do ponto superior ao longo do arco até a parte inferior; o comprimento efectivo do escoamento é o arco superior de comprimento\n
\n - Podemos então usar a formulação de Nusselt para a “placa” com
. A transferência de calor por unidade de comprimento do tubo (ou seja, por metro de comprimento axial do tubo), , é numericamente igual a acima com esse :\n
Passo 5
Propriedades usadas (valores aproximados à
; tomo-os como típicos de tabela):\n
,\n
,\n
,\n
,\n
,\n
,\n
.\n
(Usei valores típicos de tabelas de propriedades para água líquida a . Pequenas variações nas propriedades mudam pouco o resultado; mais abaixo verifico a hipótese filme fino.)
(Usei valores típicos de tabelas de propriedades para água líquida a
Passo 6
Cálculo numérico detalhado de
.\n
Escrevo a expressão novamente para substituir os números:\n
Escrevo a expressão novamente para substituir os números:\n
Calculemos cada termo com atenção:\n
- Primeiro o produto dentro da raiz de quarta ordem:\n
\n
Substituindo valores:\n
- A quarta raiz de
:\n \n - Agora
.\n - E
. Primeiro , e\n \n - Agora multiplicamos todos os fatores:\n
\n
Cálculo passo a passo:\n
,\n
multiplicando por dá
,\n
multiplicando por
e multiplicando por
obtemos\n
\n
Portanto a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo é aproximadamente
por metro de comprimento de tubo.
Passo 7
Cálculo da taxa de condensação por unidade de comprimento.\n
- A taxa mássica condensada por unidade de comprimento
é simplesmente a taxa de calor por unidade de comprimento dividida pelo calor latente:\n \n
Substituindo valores:\n
Isto é cerca de
por metro de comprimento do tubo.
Passo 8
Verificação da hipótese filme fino (checar consistência).\n
- Usamos a expressão para espessura do filme no fim do arco
:\n \n
Substituindo números obtém-se (cálculo resumido)
(≈
). Comparando com o raio
,
(aprox
de
), logo a hipótese de filme fino é válida e o uso da aproximação de Nusselt está justificado.