e uma temperatura inicial de
, novamente calcule o máximo trabalho liberado.
Antes de fazer o cálculo, você esperaria que o trabalho liberado será maior que, igual a, ou menor que aquele calculado no Problema 4.5-1? Por que?
Antes de fazer o cálculo, você esperaria que o trabalho liberado será maior que, igual a, ou menor que aquele calculado no Problema 4.5-1? Por que?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a expressão da capacidade térmica $ C(T) = \left(2 + \frac{T}{150}\right) R $ e uma temperatura inicial de $ T_{RHS, 0} = 300 , K $. Precisamos calcular o máximo trabalho liberado nesse processo. Esse exercício está dentro da matéria de Termodinâmica, especificamente lidando com capacidades térmicas variáveis e trabalho em processos termodinâmicos. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de calor específico, variação de entalpia e a relação entre trabalho e energia em sistemas termodinâmicos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a capacidade térmica $ C(T) $ representa. Ela indica quanta energia é necessária para aumentar a temperatura do sistema em 1 K a uma temperatura T específica. A expressão dada é $ C(T) = \left(2 + \frac{T}{150}\right) R $, onde $ R $ é a constante dos gases.
Passo 3
Para calcular o trabalho máximo liberado, precisamos considerar que esse trabalho está relacionado à variação da energia interna do sistema. A variação da energia interna $ \Delta U $ pode ser calculada integrando a capacidade térmica em relação à temperatura:
Onde:
- $ T_0 $ é a temperatura inicial ($ 300 , K $)
- $ T_f $ é a temperatura final
Passo 4
Vamos supor que o processo ocorra até o sistema atingir o equilíbrio térmico com o ambiente, mas como não temos essa temperatura final, assumiremos que toda a energia interna convertida pode ser utilizada para realizar trabalho. Assim, o trabalho máximo liberado será igual à variação da energia interna:
Passo 5
Agora, substituímos $ C(T) $ na integral:
Para resolver essa integral, precisamos integrar termo a termo.
Passo 6
Integrando cada termo:
onde $ C $ é a constante de integração, que podemos ignorar ao calcular a diferença.
Passo 7
Aplicando os limites de integração de $ 300 , K $ a $ T_f $:
Simplificando:
Passo 8
Sem a temperatura final $ T_f $, não podemos calcular um valor numérico exato para o trabalho. Contudo, se considerarmos que o processo ocorre até $ T_f = 0 , K $ (o que é impossível na prática, mas serve para mostrar o máximo teórico), teríamos:
Como o trabalho não pode ser negativo nesse contexto (estamos falando de trabalho liberado), consideramos o valor absoluto:
Resposta
O máximo trabalho liberado é $ 900R $.