Uma caixa fechada de volume 2 \mathrm{~m}^{3} e temperatura 120^{\circ} \mathrm{C} contem 1 \mathrm{~m}^{3} de água saturada com vapor. Calcule:
a. massa de vapor d’água;
b. a massa de vapor d’água que deve escapar lentamente para que a temperatura dentro da caixa decresça para 100^{\circ} \mathrm{C} ao mesmo tempo que mantêm as condições saturadas.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma caixa rígida (volume total) de 2\\ \mathrm{m}^3 e temperatura inicial 120^\circ\mathrm{C}. Nessa caixa há “ 1\\ \mathrm{m}^3 de água saturada com vapor”. Vou interpretar essa frase do jeito mais usual nesses exercícios: dentro da caixa o volume ocupado pela água líquida (fase líquida) é 1\\ \mathrm{m}^3 e o restante do volume da caixa ( 2-1=1\\ \mathrm{m}^3) está ocupado pelo vapor saturado à mesma temperatura.
O problema pede:
a) a massa do vapor d’água inicial;
b) a massa de vapor que deve escapar lentamente para que, mantendo-se as condições de saturado, a temperatura dentro da caixa decresça para 100^\circ\mathrm{C}.
Dados relevantes (retirados de tabelas de vapor saturado — estou explicitando os valores que usei):
\begin{aligned} &\text{A }120^\circ\mathrm{C}:\quad v_{f,120}=0{,}001060\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg},\quad v_{g,120}=0{,}8907\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.\\\ &\text{A }100^\circ\mathrm{C}:\quad v_{f,100}=0{,}001043\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg},\quad v_{g,100}=1{,}043\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}. \end{aligned}
Observações importantes que vou usar depois: o volume total da caixa é fixo V_{\text{tot}}=2\\ \mathrm{m}^3; inicialmente o volume do líquido V_{f1}=1\\ \mathrm{m}^3 e o volume do vapor V_{g1}=1\\ \mathrm{m}^3. A massa de cada fase é dada por m_f=V_f/v_f e m_g=V_g/v_g. A solução seguirá com essas interpretações e com os valores de tabelas acima.

Passo 2

Explicando a ideia física e a fórmula que vamos usar para (a): para uma fase de vapor saturado, a relação entre o volume ocupado pelo vapor V_g, a massa de vapor m_g e o volume específico do vapor v_g é
V_g = m_g\, v_g.
Daí
m_g = \frac{V_g}{v_g}.
No nosso caso inicial, V_{g1}=1\\ \mathrm{m}^3 e v_{g,120} é o volume específico do vapor saturado a 120^\circ\mathrm{C} (valor da tabela). Substituímos e calculamos.

Passo 3

Cálculo numérico da massa de vapor inicial (passo-a-passo):
m_{g1}=\frac{V_{g1}}{v_{g,120}}=\frac{1{,}0\\ \mathrm{m}^3}{0{,}8907\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}}.
Agora dividindo:
m_{g1}\approx 1{,}1228\\ \mathrm{kg}.
(Arredondei a 4 casas decimais internas; no final darei com 3 casas significativas.)

Passo 4

Para termos perspectiva, calculo também a massa de líquido inicial (mesma ideia, para que possamos usar conservação de massa quando necessário):
m_{f1}=\frac{V_{f1}}{v_{f,120}}=\frac{1{,}0\\ \mathrm{m}^3}{0{,}001060\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}} \approx 943{,}396\\ \mathrm{kg}.
E a massa total inicial é
m_{tot1}=m_{f1}+m_{g1}\approx 943{,}396 + 1{,}1228 \approx 944{,}519\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Estratégia para (b) e conceito didático: queremos saber quanto de vapor deve escapar lentamente para que, ao final, a temperatura interna seja 100^\circ\mathrm{C} e o sistema permaneça em condições de saturado. Na condição final saturada a 100^\circ\mathrm{C} a relação entre as massas e volumes é
V_{\text{tot}} = m_{f2}\,v_{f,100} + m_{g2}\,v_{g,100},
onde m_{f2} e m_{g2} são as massas de líquido e vapor no estado final. Além disso, a massa total final é
m_{tot2}=m_{f2}+m_{g2}.
A massa que escapou (toda ela em forma de vapor, pelo enunciado que diz “escapar lentamente”) é
m_{\text{escap}} = m_{tot1}-m_{tot2}.
Para calcular m_{\text{escap}} precisamos de m_{tot2} (ou de m_{g2}). Uma forma prática e direta é assumir que o processo é realizado lentamente e que, ao final, a caixa tem a mesma massa total menos a massa de vapor que saiu; porém um caminho comum e simples é calcular o estado final supondo que não houve troca de massa com o exterior e ver qual seria a massa de vapor final — a diferença entre o vapor inicial e esse vapor final será a massa de vapor que teve que desaparecer (por condensação) ou escapar. Neste problema, ventilar lentamente até 100^\circ\mathrm{C} enquanto se mantém saturado implica que a massa de vapor presente no final será a que corresponde à qualidade do sistema saturado a 100^\circ\mathrm{C} com a massa total resultante. Uma maneira prática (e comumente utilizada) é: calcular o estado final assumindo que a massa total permaneceu igual (isto é, considerar a condensação interna que ocorreria sem ventilar); esse cálculo dá a nova massa de vapor que permaneceria se não se permitisse a saída de massa. A massa que deve escapar para chegar àquela condição saturada a 100^\circ\mathrm{C} é então a diferença entre o vapor inicial e o vapor final calculado dessa forma. (Isto é consistente com o processo “ventilar lentamente” combinado com resfriamento: apenas uma pequena quantidade de vapor precisa sair para ajustar o equilíbrio; o restante da mudança de vapor ocorrerá por condensação interna.) Vou seguir este caminho — é o caminho adotado na maioria dos exercícios didáticos — e mostro todos os passos numéricos.

Passo 6

Cálculo detalhado do estado final supondo massa total igual à inicial (isto dá a massa de vapor que permaneceria dentro se não se permitisse massa externalizada adicional além da necessária): primeiro calcule o volume específico médio final se a massa total permanecesse m_{tot1}:
v_{\text{espec}}=\frac{V_{\text{tot}}}{m_{tot1}}=\frac{2{,}0\\ \mathrm{m}^3}{944{,}519\\ \mathrm{kg}}\approx 0{,}0021160\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Esse v_{\text{espec}} deve estar entre v_{f,100} e v_{g,100} (o que acontece), então podemos obter a qualidade (fração mássica de vapor) final x_2 pela fórmula
x_2=\frac{v_{\text{espec}}-v_{f,100}}{v_{g,100}-v_{f,100}}.
Substituindo:
x_2=\frac{0{,}0021160 - 0{,}001043}{1{,}043 - 0{,}001043} = \frac{0{,}0010730}{1{,}041957} \approx 0{,}0010302.

Passo 7

A massa de vapor que permaneceria no sistema a 100^\circ\mathrm{C} (com massa total igual à inicial) é
m_{g2}=x_2\, m_{tot1}\approx 0{,}0010302 \times 944{,}519 \approx 0{,}9731\\ \mathrm{kg}.

Passo 8

Agora calculamos a massa de vapor que “deve escapar” (interpretação usada: diferença entre a massa de vapor inicial e a massa de vapor que ficará no interior do recipiente quando esse estiver saturado a 100^\circ\mathrm{C}):
m_{\text{escap}} = m_{g1}-m_{g2}\approx 1{,}1228 - 0{,}9731 \approx 0{,}1497\\ \mathrm{kg}.

Passo 9

Interpretação física e checagem rápida: o resultado mostra que a massa de vapor inicial era pequena (aprox. 1{,}12\\ \mathrm{kg}) porque a maior parte da massa está no líquido ( \sim 943\\ \mathrm{kg}). Ao resfriar até 100^\circ\mathrm{C} mantendo a condição saturada, apenas uma pequena fração do vapor precisa sair (aprox. 0{,}15\\ \mathrm{kg}); o restante da diminuição de volume específico ocorre por condensação interna do vapor sobre o líquido. Os valores numéricos usados foram tomados das tabelas de vapor saturado conforme indicado no Passo 1.

Resposta

a) m_{g1}\approx 1{,}12\\ \mathrm{kg}.
b) m_{\text{escap}}\approx 0{,}150\\ \mathrm{kg}.

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