Calcular o trabalho realizado por I mol de um gás durante uma expansäo isotèrmiea e irreversivel de um volume inicial V_{1} até um volume final V_{2} quando a equação de estado for:
P(V - b)=R T
onde b é uma constante positiva.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • É 1 mol do gás (logo a constante dos gases será R).
    • Processo: expansão isotérmica e irreversível do volume inicial V_{1} até o volume final V_{2}.
    • Equação de estado do gás: P(V - b)=R T,
    onde b>0 é constante e a temperatura T é mantida constante durante todo o processo.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular o trabalho realizado pelo gás durante essa expansão irreversível.

Passo 2

O que é trabalho em termodinâmica e por que a irreversibilidade importa.
  • Definição prática do trabalho mecânico realizado pelo gás quando o volume muda: W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} P_{\text{ext}}\,dV,
onde P_{\text{ext}} é a pressão externa que age contra a expansão. Importante: esta é a expressão geral para trabalho em processos reais (reversíveis ou irreversíveis). A diferença entre processo reversível e irreversível está em qual pressão aparece dentro da integral:
  • Para um processo reversível (quase-estático) usa-se a pressão interna do gás em equilíbrio P_{\text{gas}}(V) e então W_{\text{rev}}=\int_{V_1}^{V_2} P_{\text{gas}}(V)\,dV.
  • Para um processo irreversível, durante a expansão o gás não está sempre em equilíbrio com a pressão externa; o que importa para o trabalho é P_{\text{ext}}, que geralmente deve ser conhecida ou assumida (por exemplo constante).
  • Sinal: seguiremos a convenção em que o trabalho realizado pelo gás (expansão) é positivo. Assim W>0 se V_2>V_1 e P_{\text{ext}}>0.

Passo 3

Relacionando a pressão do gás e possibilidades para P_{\text{ext}}.
  • A equação de estado nos dá a pressão do gás quando ele está em equilíbrio à temperatura T: P_{\text{gas}}(V)=\frac{R T}{V - b}.
  • Porém, como o processo é irreversível, a pressão que entra no cálculo do trabalho é P_{\text{ext}}. O enunciado não especifica um perfil temporal de P_{\text{ext}}. O caso irreversível mais simples e mais comum em exercícios é a expansão contra uma pressão externa constante. Uma escolha natural, quando se fala de uma expansão rápida que termina em equilíbrio com a vizinhança, é tomar P_{\text{ext}} constante e igual à pressão final de equilíbrio do gás, ou seja P_{\text{ext}}=P_{2}=P_{\text{gas}}(V_{2})=\frac{RT}{V_{2}-b}.
  • Vou adotar essa hipótese (expansão irreversível contra pressão externa constante igual à pressão final do gás). Se o enunciado quisesse outro caso (por exemplo expansão livre, ou P_{\text{ext}} diferente), isso deveria estar especificado; nesse caso o trabalho seria diferente.

Passo 4

Cálculo do trabalho para a hipótese escolhida ( P_{\text{ext}}=P_{2} constante).
  • Como P_{\text{ext}} é constante durante a expansão, a integral do trabalho simplifica para um produto: W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} P_{\text{ext}}\,dV = P_{\text{ext}}\,(V_{2}-V_{1}).
  • Substituindo P_{\text{ext}}=P_{2}=\dfrac{R T}{V_{2}-b} (obtido da equação de estado para V=V_{2}), obtemos: W = \frac{R T}{V_{2}-b}\,(V_{2}-V_{1}).
  • Podemos reescrever de forma alternativa, mostrando uma forma que às vezes é útil para comparar com o trabalho reversível: W = R T\left(\frac{V_{2}-V_{1}}{V_{2}-b}\right) = R T\left[1-\frac{V_{1}-b}{V_{2}-b}\right].

Passo 5

Comentário didático e comparação rápida com o caso reversível (para entendimento).
  • Para comparação: se o processo fosse reversível isotérmico, o trabalho seria W_{\text{rev}}=\int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{R T}{V-b}\,dV = R T\ln\!\left(\frac{V_{2}-b}{V_{1}-b}\right).
  • Em geral, para uma expansão, o trabalho reversível fornece o máximo trabalho útil; o trabalho contra uma pressão externa constante igual à pressão final (caso que usei) é menor do que o trabalho reversível esperado. Isso é coerente com a intuição: irreversibilidades “desperdiçam” potencial de trabalho.

Passo 6

Resumo final e incentivo.
  • Concluímos então a expressão do trabalho para o caso usual de expansão irreversível contra uma pressão externa constante igual à pressão final do gás. Dá para calcular numericamente substituindo R, T, V_{1}, V_{2} e b.
  • Força aí! Se quiser, posso também:
    • derivar o trabalho no caso de P_{\text{ext}} arbitrária (funcão de V ou diferente de P_{2});
    • calcular um exemplo numérico;
    • ou explicar por que o reversível dá trabalho maior.

Resposta

W=\frac{R T}{V_{2}-b}\,(V_{2}-V_{1})

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