Calcular o trabalho realizado por I mol de um gás durante uma expansäo isotèrmiea e irreversivel de um volume inicial
até um volume final
quando a equação de estado for:
onde b é uma constante positiva.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados fornecidos:
- É 1 mol do gás (logo a constante dos gases será
). - Processo: expansão isotérmica e irreversível do volume inicial
até o volume final . - Equação de estado do gás:
é constante e a temperatura é mantida constante durante todo o processo. - É 1 mol do gás (logo a constante dos gases será
- O que o enunciado pede:
- Calcular o trabalho realizado pelo gás durante essa expansão irreversível.
Passo 2
O que é trabalho em termodinâmica e por que a irreversibilidade importa.
- Definição prática do trabalho mecânico realizado pelo gás quando o volume muda:
onde
é a pressão externa que age contra a expansão. Importante: esta é a expressão geral para trabalho em processos reais (reversíveis ou irreversíveis). A diferença entre processo reversível e irreversível está em qual pressão aparece dentro da integral:
- Para um processo reversível (quase-estático) usa-se a pressão interna do gás em equilíbrio
e então . - Para um processo irreversível, durante a expansão o gás não está sempre em equilíbrio com a pressão externa; o que importa para o trabalho é
, que geralmente deve ser conhecida ou assumida (por exemplo constante). - Sinal: seguiremos a convenção em que o trabalho realizado pelo gás (expansão) é positivo. Assim
se e .
Passo 3
Relacionando a pressão do gás e possibilidades para
.
- A equação de estado nos dá a pressão do gás quando ele está em equilíbrio à temperatura
: - Porém, como o processo é irreversível, a pressão que entra no cálculo do trabalho é
. O enunciado não especifica um perfil temporal de . O caso irreversível mais simples e mais comum em exercícios é a expansão contra uma pressão externa constante. Uma escolha natural, quando se fala de uma expansão rápida que termina em equilíbrio com a vizinhança, é tomar constante e igual à pressão final de equilíbrio do gás, ou seja - Vou adotar essa hipótese (expansão irreversível contra pressão externa constante igual à pressão final do gás). Se o enunciado quisesse outro caso (por exemplo expansão livre, ou
diferente), isso deveria estar especificado; nesse caso o trabalho seria diferente.
Passo 4
Cálculo do trabalho para a hipótese escolhida (
constante).
- Como
é constante durante a expansão, a integral do trabalho simplifica para um produto: - Substituindo
(obtido da equação de estado para ), obtemos: - Podemos reescrever de forma alternativa, mostrando uma forma que às vezes é útil para comparar com o trabalho reversível:
Passo 5
Comentário didático e comparação rápida com o caso reversível (para entendimento).
- Para comparação: se o processo fosse reversível isotérmico, o trabalho seria
- Em geral, para uma expansão, o trabalho reversível fornece o máximo trabalho útil; o trabalho contra uma pressão externa constante igual à pressão final (caso que usei) é menor do que o trabalho reversível esperado. Isso é coerente com a intuição: irreversibilidades “desperdiçam” potencial de trabalho.
Passo 6
Resumo final e incentivo.
- Concluímos então a expressão do trabalho para o caso usual de expansão irreversível contra uma pressão externa constante igual à pressão final do gás. Dá para calcular numericamente substituindo
, , , e . - Força aí! Se quiser, posso também:
- derivar o trabalho no caso de
arbitrária (funcão de ou diferente de ); - calcular um exemplo numérico;
- ou explicar por que o reversível dá trabalho maior.
- derivar o trabalho no caso de