5-Questão:
A equação de estado de um sólido monoatômico é:
onde
é uma função somente do volume molar
e
é uma constante.
Prove que:
onde
é a expansividade térmica e
a compressibilidade isotérmica.
Está é a famosa equação de Gruneisen de forte interesse nos estudos do estado sólido.
Prove que:
Está é a famosa equação de Gruneisen de forte interesse nos estudos do estado sólido.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte relação de estado para um sólido monoatômico:
onde
é uma função somente do volume molar
e
é uma constante. O problema pede que se prove a identidade
Informações relevantes fornecidas:
- A equação de estado:
-
depende apenas do volume molar (ou seja, , sem dependência direta da temperatura). -
é constante (número que queremos relacionar com grandezas termodinâmicas).
O que é pedido: - Mostrar matematicamente que
, onde é a expansividade térmica, a compressibilidade isotérmica e o calor específico (capacidade térmica) a volume constante.
Passo 2
Definamos claramente as grandezas termodinâmicas que aparecem na expressão final (cada definição será usada depois):
- Expansividade térmica volumétrica
: por definição
Explicação:
diz quanto o volume varia com a temperatura quando a pressão é mantida constante. A fator
normaliza por volume (é um coeficiente adimensional por grau de temperatura).
- Compressibilidade isotérmica
(também chamada em alguns textos): por definição
Explicação:
mede a variação relativa do volume quando a pressão é mudada, à temperatura constante. O sinal menos garante que
porque
em um material estável.
- Calor específico a volume constante
: definimos aqui como a derivada da energia interna em relação à temperatura mantendo o volume fixo,
Explicação:
tem unidades de energia por unidade de temperatura (pode ser por mol, por massa, conforme convenção; aqui
é a energia interna do corpo considerado e
compatível com essa escolha).
Vou usar também a propriedade de derivadas parciais para funções
e
quando necessário (regra de derivada implícita / reciprocidade de derivadas parciais).
Passo 3
Differentie a equação de estado em relação à temperatura
mantendo o volume
constante. Justificativa: queremos obter uma relação que envolva
, então derivar a equação à
com
fixo é natural.
A equação é
Ao derivar ambos os lados em relação a
com
fixo, analisamos termo a termo:
- Derivada de
com fixo: (pois é constante). - Derivada de
com fixo: como depende somente de e é mantido constante, é constante, logo . - Derivada de
com fixo: (pela definição de ).
Portanto a derivada dá a igualdade
Aqui expliquei por que a derivada de
é zero:
não depende de
explicitamente, apenas do volume molar; mantendo
constante não há variação de
com
.
Passo 4
Isolando
a partir da igualdade obtida:
Agora o objetivo é reescrever
em termos de
e
.
Passo 5
Relacionar
com derivadas de
. Considere
como função natural de
e
:
. Para a derivada parcial
podemos usar a regra de derivada implícita (ou identidade de reciprocidade das derivadas parciais):
Explicação curta de onde vem: se
é função de
e
, a condição
constante define
como função de
(implicitamente). Diferenciando
constante e isolando
obtém-se a fórmula acima. É uma identidade padrão de derivadas parciais que equivale ao uso de jacobianos.
Passo 6
Substituir as expressões de
e
em termos de
e
. Pelas definições do Passo 2:
Logo, usando a identidade do Passo 5,
Observe que os fatores
cancelam, como era de se esperar.
Passo 7
Voltar à expressão obtida no Passo 4 e substituir
:
Pronto: chegamos exatamente à forma pedida.