3.3
Calculate \Delta S (for the system) when the state of 3.00 mol of perfect gas atoms, for which C_{p, \mathrm{~m}}=\frac{5}{2} R, is changed from 25^{\circ} \mathrm{C} and 1.00 atm to 125^{\circ} \mathrm{C} and 5.00 atm . How do you rationalize the sign of \Delta S ?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a variação de entropia do sistema \Delta S quando 3{,}00 mol de um gás perfeito (átomos) com C_{p,\mathrm{m}}=\dfrac{5}{2}R passam do estado inicial para o final dados abaixo. Dados fornecidos:
  • n = 3{,}00\\ \text{mol}.
  • C_{p,\mathrm{m}} = \dfrac{5}{2}R.
  • Estado inicial: T_1 = 25^\circ\mathrm{C} e P_1 = 1{,}00\\ \text{atm}.
  • Estado final: T_2 = 125^\circ\mathrm{C} e P_2 = 5{,}00\\ \text{atm}.
O que é pedido:
  • Calcular \Delta S do sistema (variação de entropia entre os estados dados).
  • Justificar (racionalizar) o sinal de \Delta S.

Passo 2

Ideia geral e escolha de estratégia (explicação didática, sem resolver ainda).
A entropia é uma função de estado: o valor de S depende apenas do estado termodinâmico (por exemplo T e P), não do caminho seguido. Por isso podemos integrar uma expressão conveniente para dS entre os dois estados. Para um gás ideal podemos obter uma fórmula prática que relaciona \Delta S com as variações de temperatura e pressão, o que evita ter que imaginar um processo físico específico. Vou derivar essa fórmula e depois aplicá‑la com os números.

Passo 3

Derivação da expressão diferencial útil para um gás ideal (aulaszinha rápida).
Começo do ponto termodinâmico: a energia livre de Gibbs G satisfaz
dG = -S\,dT + V\,dP.
Dessa relação, trocando derivadas parciais, obtemos a identidade de Maxwell
\left(\dfrac{\partial S}{\partial P}\right)_{T} = -\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
Para um gás ideal vale a equação de estado PV = nRT, então
V = \dfrac{nRT}{P}\quad\Rightarrow\quad \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}=\dfrac{nR}{P}.
Substituindo na identidade de Maxwell:
\left(\dfrac{\partial S}{\partial P}\right)_{T} = -\dfrac{nR}{P}.
Também sabemos que, à pressão constante, a variação de entropia com temperatura é
\left(\dfrac{\partial S}{\partial T}\right)_{P} = \dfrac{nC_{p,\mathrm{m}}}{T},
onde C_{p,\mathrm{m}} é o calor molar a pressão constante. Assim o diferencial total é
dS = \dfrac{nC_{p,\mathrm{m}}}{T}\,dT - \dfrac{nR}{P}\,dP.
Essa é a expressão que vamos integrar entre os estados inicial e final.
Explicando as variáveis:
  • n = número de mols do gás.
  • C_{p,\mathrm{m}} = calor molar a pressão constante (dado).
  • R = constante universal dos gases ( R\approx 8{,}314462618\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}).
  • T = temperatura em kelvin.
  • P = pressão.

Passo 4

Integração para obter a fórmula prática para \Delta S.
Integrando a expressão de dS entre o estado 1 e o estado 2:
\Delta S = \int_{1}^{2} dS = \int_{T_1}^{T_2} \dfrac{nC_{p,\mathrm{m}}}{T}\,dT \;-\; \int_{P_1}^{P_2} \dfrac{nR}{P}\,dP.
As integrais são triviais (logaritmos):
\Delta S = nC_{p,\mathrm{m}}\ln\!\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right) - nR\ln\!\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right).
Esta fórmula é prática e muito usada: a primeira parcela é a contribuição da variação de temperatura (positiva se T_2>T_1), a segunda é a contribuição da variação de pressão (negativa se P_2>P_1).

Passo 5

Substituir os dados e converter temperaturas para kelvin.
Converter:
T_1 = 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \text{K},
T_2 = 125^\circ\mathrm{C} = 125 + 273{,}15 = 398{,}15\\ \text{K}.
Valores numéricos a usar:
n = 3{,}00\\ \text{mol},\qquad C_{p,\mathrm{m}}=\dfrac{5}{2}R,\qquad R = 8{,}314462618\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1},
P_1 = 1{,}00\\ \text{atm},\qquad P_2 = 5{,}00\\ \text{atm}.

Passo 6

Calcule os logaritmos e as contribuições separadas (mostrar que as contas dão números manejáveis).
Primeiro o quociente de temperaturas e seu logaritmo:
\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{398{,}15}{298{,}15}\approx 1{,}33557,
\ln\!\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)\approx 0{,}289237.
Agora o quociente de pressões e seu logaritmo:
\dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{5{,}00}{1{,}00}=5{,}00,
\ln\!\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)=\ln 5\approx 1{,}609438.
Calcule nR e use C_{p,\mathrm{m}}=\dfrac{5}{2}R:
nR = 3{,}00\times 8{,}314462618 \approx 24{,}9434\\ \text{J K}^{-1},
nC_{p,\mathrm{m}} = n\cdot\dfrac{5}{2}R = \dfrac{5}{2}nR \approx 2{,}5\times 24{,}9434 \approx 62{,}3585\\ \text{J K}^{-1}.
Agora as contribuições:
  • Contribuição por mudança de temperatura:
\Delta S_T = nC_{p,\mathrm{m}}\ln\!\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right) \approx 62{,}3585\times 0{,}289237 \approx 18{,}04\\ \text{J K}^{-1}.
  • Contribuição por mudança de pressão:
\Delta S_P = -\,nR\ln\!\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right) \approx -24{,}9434\times 1{,}609438 \approx -40{,}15\\ \text{J K}^{-1}.

Passo 7

Somar as contribuições para obter \Delta S final e arredondar adequadamente.
Somando:
\Delta S = \Delta S_T + \Delta S_P \approx 18{,}04 - 40{,}15 = -22{,}11\\ \text{J K}^{-1}.
Arredondando com duas casas significativas coerentes com os dados (os dados têm 3 algarismos significativos, mas logaritmos limitam um pouco a precisão), podemos escrever
\Delta S \approx -22{,}1\\ \text{J K}^{-1}.

Passo 8

Racionalização do sinal (explicação física, simples e intuitiva).
  • A entropia mede, grosso modo, o número de microestados acessíveis ou a “desordem” do sistema. Para um gás ideal, aumentar a temperatura tende a aumentar a entropia porque as partículas podem acessar mais níveis de energia (mais microestados energéticos) — essa é a contribuição positiva que vimos ( +18{,}04\\ \text{J K}^{-1}).
  • Aumentar a pressão (aqui P de 1{,}00 para 5{,}00\\ \text{atm}) corresponde a comprimir o gás, reduzindo o volume disponível por mol e portanto reduzindo o número de configurações espaciais acessíveis — essa é a contribuição negativa ( -40{,}15\\ \text{J K}^{-1}).
  • No problema, o efeito de compressão (aumento de pressão) domina o efeito de aquecimento: a perda de entropia por compressão é maior em magnitude que o ganho por aquecimento, resultando em \Delta S < 0. Em palavras: o gás ficou mais quente, o que aumenta entropia, mas foi comprimido muito mais (5 vezes a pressão), o que diminuiu a entropia mais ainda; o resultado líquido é uma diminuição de entropia do sistema.

Resposta

-22{,}1\\ \text{J K}^{-1}

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