3.3
Calculate
(for the system) when the state of 3.00 mol of perfect gas atoms, for which
, is changed from
and 1.00 atm to
and 5.00 atm . How do you rationalize the sign of
?
Calculate
Passo 1
O enunciado pede para calcular a variação de entropia do sistema
quando
mol de um gás perfeito (átomos) com
passam do estado inicial para o final dados abaixo. Dados fornecidos:
-
. -
. - Estado inicial:
e . - Estado final:
e .
O que é pedido:
- Calcular
do sistema (variação de entropia entre os estados dados). - Justificar (racionalizar) o sinal de
.
Passo 2
Ideia geral e escolha de estratégia (explicação didática, sem resolver ainda).
A entropia é uma função de estado: o valor de
depende apenas do estado termodinâmico (por exemplo
e
), não do caminho seguido. Por isso podemos integrar uma expressão conveniente para
entre os dois estados. Para um gás ideal podemos obter uma fórmula prática que relaciona
com as variações de temperatura e pressão, o que evita ter que imaginar um processo físico específico. Vou derivar essa fórmula e depois aplicá‑la com os números.
Passo 3
Derivação da expressão diferencial útil para um gás ideal (aulaszinha rápida).
Começo do ponto termodinâmico: a energia livre de Gibbs
satisfaz
Dessa relação, trocando derivadas parciais, obtemos a identidade de Maxwell
Para um gás ideal vale a equação de estado
, então
Substituindo na identidade de Maxwell:
Também sabemos que, à pressão constante, a variação de entropia com temperatura é
onde
é o calor molar a pressão constante. Assim o diferencial total é
Essa é a expressão que vamos integrar entre os estados inicial e final.
Explicando as variáveis:
-
= número de mols do gás. -
= calor molar a pressão constante (dado). -
= constante universal dos gases ( ). -
= temperatura em kelvin. -
= pressão.
Passo 4
Integração para obter a fórmula prática para
.
Integrando a expressão de
entre o estado 1 e o estado 2:
As integrais são triviais (logaritmos):
Esta fórmula é prática e muito usada: a primeira parcela é a contribuição da variação de temperatura (positiva se
), a segunda é a contribuição da variação de pressão (negativa se
).
Passo 5
Substituir os dados e converter temperaturas para kelvin.
Converter:
Valores numéricos a usar:
Passo 6
Calcule os logaritmos e as contribuições separadas (mostrar que as contas dão números manejáveis).
Primeiro o quociente de temperaturas e seu logaritmo:
Agora o quociente de pressões e seu logaritmo:
Calcule
e use
:
Agora as contribuições:
- Contribuição por mudança de temperatura:
- Contribuição por mudança de pressão:
Passo 7
Somar as contribuições para obter
final e arredondar adequadamente.
Somando:
Arredondando com duas casas significativas coerentes com os dados (os dados têm 3 algarismos significativos, mas logaritmos limitam um pouco a precisão), podemos escrever
Passo 8
Racionalização do sinal (explicação física, simples e intuitiva).
- A entropia mede, grosso modo, o número de microestados acessíveis ou a “desordem” do sistema. Para um gás ideal, aumentar a temperatura tende a aumentar a entropia porque as partículas podem acessar mais níveis de energia (mais microestados energéticos) — essa é a contribuição positiva que vimos (
). - Aumentar a pressão (aqui
de para ) corresponde a comprimir o gás, reduzindo o volume disponível por mol e portanto reduzindo o número de configurações espaciais acessíveis — essa é a contribuição negativa ( ). - No problema, o efeito de compressão (aumento de pressão) domina o efeito de aquecimento: a perda de entropia por compressão é maior em magnitude que o ganho por aquecimento, resultando em
. Em palavras: o gás ficou mais quente, o que aumenta entropia, mas foi comprimido muito mais (5 vezes a pressão), o que diminuiu a entropia mais ainda; o resultado líquido é uma diminuição de entropia do sistema.