Calculate the molar entropy of a constant-volume sample of neon at 500 K given that it is 146.22 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1} at 298 K.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pede-se calcular a entropia molar de uma amostra de neon mantida a volume constante quando sua temperatura é elevada de 298\\ \mathrm{K} para 500\\ \mathrm{K}.
  • Informação dada: a entropia molar do neon a 298\\ \mathrm{K} é S(298\\ \mathrm{K}) = 146{,}22\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
  • Processo: aquecimento a volume constante (isto é importante para escolher a expressão de calor trocado).
  • Objetivo: encontrar S(500\\ \mathrm{K}).

Passo 2

Assunções físicas e justificativa (explicação didática).
  • Neon é um gás nobre monoatômico; em condições usuais pode ser tratado como gás ideal. Isso permite usar as expressões clássicas de termodinâmica para gases ideais.
  • Em um processo reversível a volume constante, a troca de calor \delta Q_{\text{rev}} por mol é dada por \delta Q_{\text{rev}} = C_V\,dT, onde C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante.
  • A variação de entropia para um processo reversível é dS = \dfrac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}. Substituindo a expressão acima, obtemos a relação que será integrada no próximo passo.

Passo 3

Derivação da fórmula que vamos usar (aula curta).
  • Começamos de dS = \dfrac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
  • A V constante: \delta Q_{\text{rev}} = C_V\,dT.
  • Logo,
dS = \frac{C_V\,dT}{T}.
  • Se C_V for (aproximadamente) constante no intervalo de temperatura considerado, integramos de T_1 a T_2:
\Delta S = \int_{T_1}^{T_2} \frac{C_V}{T}\,dT = C_V \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
  • Aqui:
    • \Delta S = S(T_2)-S(T_1) é a variação de entropia molar;
    • C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante (assumida constante no intervalo);
    • T_1 = 298\\ \mathrm{K} e T_2 = 500\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Valor de C_V para um gás monoatômico e escolha de constantes numéricas.
  • Para um gás monoatômico ideal vale
C_V = \frac{3}{2}R,
onde R é a constante universal dos gases.
  • Tomando R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}} (valor padrão), obtemos
C_V = \frac{3}{2}R = \frac{3}{2}\times 8{,}314462618 = 12{,}471693927\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
  • Explicação curta: um átomo monoatômico só tem 3 graus de liberdade de translação; a energia interna por mol é \tfrac{3}{2}RT, daí C_V=\tfrac{d}{dT}(\tfrac{3}{2}RT)=\tfrac{3}{2}R.

Passo 5

Cálculo do termo logarítmico.
  • Calcular o logaritmo natural da razão de temperaturas:
\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=\ln\!\left(\frac{500}{298}\right)=\ln(1{,}677852349)\approx 0{,}517514612.

Passo 6

Cálculo da variação de entropia \Delta S.
  • Usando a fórmula \Delta S = C_V \ln\!\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right):
\Delta S = 12{,}471693927 \times 0{,}517514612 \approx 6{,}45428\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.

Passo 7

Cálculo da entropia final e comentário final encorajador.
  • Somando a variação à entropia inicial:
S(500\\ \mathrm{K}) = S(298\\ \mathrm{K}) + \Delta S = 146{,}22 + 6{,}45428 \approx 152{,}67428\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
  • Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):
S(500\\ \mathrm{K}) \approx 152{,}67\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
  • Comentário amigo: foi só aplicar a definição de entropia com C_V constante e usar que neon é monoatômico — nada de pânico, você mandou bem acompanhando passo a passo!

Resposta

152{,}67\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}

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