Calcule o desvio relativo para a energia de um gás ideal monoatômico e mostre que esse desvio se aproxima de zero para um número de partículas no sistema da ordem do número de Avogadro.
Passo 1
O que o problema pede: calcular o desvio relativo da energia de um gás ideal monoatômico e mostrar que esse desvio fica praticamente zero quando o número de partículas é da ordem do número de Avogadro.
Informações importantes dadas / que vamos usar (listadas explicitamente):
gás ideal monoatômico (apenas 3 graus de liberdade translacionais por partícula);\n
número de partículas do sistema:
(vamos avaliar depois para
);\n
constantes físicas que aparecerão: a constante de Boltzmann
e a temperatura
;\n
o “desvio relativo” que queremos é a razão entre o desvio padrão da energia e o valor médio da energia, isto é
.
Nada mais será assumido além de um gás ideal clássico em equilíbrio térmico (ensemble canônico).
Informações importantes dadas / que vamos usar (listadas explicitamente):
Nada mais será assumido além de um gás ideal clássico em equilíbrio térmico (ensemble canônico).
Passo 2
Definir quantitativamente o que queremos calcular: o desvio relativo é\n
onde
é o desvio padrão da energia total e
é a energia média do sistema. Vou explicar o significado de cada símbolo:
é a esperança (média) da energia no ensemble canônico;
é a média do quadrado da energia;
mede a amplitude típica das flutuações da energia ao redor da média.
Passo 3
Fórmula geral das flutuações de energia no ensemble canônico: existe uma relação padrão entre a variância da energia e a capacidade calorífica a volume constante
. Essa relação é (vou escrever e explicar cada termo):
Explicação rápida de onde vem (sem derivação longa): no ensemble canônico a função partição
dá
com
; derivando novamente obtém-se a segunda derivada que é a variância de
. Convertendo derivadas em relação a
chega-se à forma acima. Aqui
é a capacidade calorífica do sistema à volume constante definida por
Portanto a variância da energia está ligada à rapidez com que a energia média muda com a temperatura.
Passo 4
Aplicar o teorema da equipartição para o gás monoatômico para obter
e
. Pelo teorema da equipartição, cada grau de liberdade quadrático dá contribuição média
à energia. Um átomo monoatômico isolado tem três graus de liberdade translacionais, logo a energia média total do gás é
Agora calculamos a capacidade calorífica à volume constante:
Aqui explico cada símbolo:
é o número de partículas,
é a constante de Boltzmann, e
é a temperatura. A derivada é simples porque
é linear em
.
Passo 5
Usar a relação das flutuações com
(Passo 3) e o valor de
(Passo 4) para achar a variância da energia:
Tomando a raiz quadrada obtemos o desvio padrão:
Expliquei: a raiz foi aplicada termo a termo; note que
tem dimensão de energia, então
também tem dimensão de energia como esperado.
Passo 6
Agora calculamos o desvio relativo dividindo
por
. Substituindo as expressões de
e
:
Simplificamos cancelando
e reorganizando:
Portanto a forma fechada do desvio relativo para um gás ideal monoatômico é
. Observação intuitiva: a dependência é
(com constante numérica), ou seja, as flutuações relativas diminuem tipo ruído estatístico com
.
Passo 7
Avaliação numérica para
da ordem do número de Avogadro. Pegamos
. Substituímos na expressão
:
Calculemos passo a passo (apenas aritmética):
Conclusão numérica: para
da ordem de
o desvio relativo é da ordem de
, extraordinariamente pequeno.
Passo 8
Interpretação física e moral da história (rápida e motivadora): o resultado
mostra que as flutuações relativas desaparecem como
. Para um sistema macroscópico com
as flutuações relativas são tão pequenas que a energia parece perfeitamente determinística — por isso a termodinâmica clássica (valores médios) funciona tão bem na prática. Se quiser visualizar, para
o desvio relativo é grande (
), mas para
já é praticamente zero. Força aí nos estudos — essa é uma conta curta, mas poderosa!