Calcule o desvio relativo para a energia de um gás ideal monoatômico e mostre que esse desvio se aproxima de zero para um número de partículas no sistema da ordem do número de Avogadro.

Passo 1

O que o problema pede: calcular o desvio relativo da energia de um gás ideal monoatômico e mostrar que esse desvio fica praticamente zero quando o número de partículas é da ordem do número de Avogadro.
Informações importantes dadas / que vamos usar (listadas explicitamente):
\bullet gás ideal monoatômico (apenas 3 graus de liberdade translacionais por partícula);\n
\bullet número de partículas do sistema: N (vamos avaliar depois para N\approx N_A);\n
\bullet constantes físicas que aparecerão: a constante de Boltzmann k_B e a temperatura T;\n
\bullet o “desvio relativo” que queremos é a razão entre o desvio padrão da energia e o valor médio da energia, isto é \sigma_E/\langle E\rangle.
Nada mais será assumido além de um gás ideal clássico em equilíbrio térmico (ensemble canônico).

Passo 2

Definir quantitativamente o que queremos calcular: o desvio relativo é\n
\frac{\sigma_E}{\langle E\rangle},
onde \sigma_E=\sqrt{\langle E^2\rangle-\langle E\rangle^2} é o desvio padrão da energia total e \langle E\rangle é a energia média do sistema. Vou explicar o significado de cada símbolo: \langle E\rangle é a esperança (média) da energia no ensemble canônico; \langle E^2\rangle é a média do quadrado da energia; \sigma_E mede a amplitude típica das flutuações da energia ao redor da média.

Passo 3

Fórmula geral das flutuações de energia no ensemble canônico: existe uma relação padrão entre a variância da energia e a capacidade calorífica a volume constante C_V. Essa relação é (vou escrever e explicar cada termo):
\langle E^2\rangle-\langle E\rangle^2 = k_B T^2 C_V.
Explicação rápida de onde vem (sem derivação longa): no ensemble canônico a função partição Z \langle E\rangle = -\partial \ln Z/\partial \beta com \beta=1/(k_B T); derivando novamente obtém-se a segunda derivada que é a variância de E. Convertendo derivadas em relação a T chega-se à forma acima. Aqui C_V é a capacidade calorífica do sistema à volume constante definida por
C_V = \frac{\partial \langle E\rangle}{\partial T}.
Portanto a variância da energia está ligada à rapidez com que a energia média muda com a temperatura.

Passo 4

Aplicar o teorema da equipartição para o gás monoatômico para obter \langle E\rangle e C_V. Pelo teorema da equipartição, cada grau de liberdade quadrático dá contribuição média \tfrac{1}{2}k_B T à energia. Um átomo monoatômico isolado tem três graus de liberdade translacionais, logo a energia média total do gás é
\langle E\rangle = \frac{3}{2} N k_B T.
Agora calculamos a capacidade calorífica à volume constante:
C_V = \frac{\partial \langle E\rangle}{\partial T} = \frac{3}{2} N k_B.
Aqui explico cada símbolo: N é o número de partículas, k_B é a constante de Boltzmann, e T é a temperatura. A derivada é simples porque \langle E\rangle é linear em T.

Passo 5

Usar a relação das flutuações com C_V (Passo 3) e o valor de C_V (Passo 4) para achar a variância da energia:
\langle E^2\rangle-\langle E\rangle^2 = k_B T^2 \cdot \frac{3}{2} N k_B = \frac{3}{2} N k_B^2 T^2.
Tomando a raiz quadrada obtemos o desvio padrão:
\sigma_E = \sqrt{\frac{3}{2} N}\; k_B T.
Expliquei: a raiz foi aplicada termo a termo; note que k_B T tem dimensão de energia, então \sigma_E também tem dimensão de energia como esperado.

Passo 6

Agora calculamos o desvio relativo dividindo \sigma_E por \langle E\rangle. Substituindo as expressões de \sigma_E e \langle E\rangle:
\frac{\sigma_E}{\langle E\rangle} = \frac{\sqrt{\dfrac{3}{2} N}\; k_B T}{\dfrac{3}{2} N k_B T}.
Simplificamos cancelando k_B T e reorganizando:
\frac{\sigma_E}{\langle E\rangle} = \frac{\sqrt{\dfrac{3}{2} N}}{\dfrac{3}{2} N} = \frac{1}{\sqrt{\dfrac{3}{2} N}} = \sqrt{\frac{2}{3N}}.
Portanto a forma fechada do desvio relativo para um gás ideal monoatômico é \sqrt{2/(3N)}. Observação intuitiva: a dependência é 1/\sqrt{N} (com constante numérica), ou seja, as flutuações relativas diminuem tipo ruído estatístico com 1/\sqrt{N}.

Passo 7

Avaliação numérica para N da ordem do número de Avogadro. Pegamos N=N_A\approx 6{,}022\times10^{23}. Substituímos na expressão \sqrt{2/(3N)}:
\frac{\sigma_E}{\langle E\rangle} = \sqrt{\frac{2}{3N_A}} = \sqrt{\frac{2}{3\cdot 6{,}022\times10^{23}}}.
Calculemos passo a passo (apenas aritmética):
3N_A \approx 3\cdot 6{,}022\times10^{23} = 1{,}8066\times10^{24},
\frac{2}{3N_A} \approx \frac{2}{1{,}8066\times10^{24}} \approx 1{,}1079\times10^{-24},
\sqrt{\frac{2}{3N_A}} \approx \sqrt{1{,}1079\times10^{-24}} \approx 1{,}05\times10^{-12}.
Conclusão numérica: para N da ordem de N_A o desvio relativo é da ordem de 10^{-12}, extraordinariamente pequeno.

Passo 8

Interpretação física e moral da história (rápida e motivadora): o resultado \sqrt{2/(3N)} mostra que as flutuações relativas desaparecem como 1/\sqrt{N}. Para um sistema macroscópico com N\sim N_A as flutuações relativas são tão pequenas que a energia parece perfeitamente determinística — por isso a termodinâmica clássica (valores médios) funciona tão bem na prática. Se quiser visualizar, para N=1 o desvio relativo é grande ( \sqrt{2/3}\approx0{,}82), mas para N\sim10^{23} já é praticamente zero. Força aí nos estudos — essa é uma conta curta, mas poderosa!

Resposta

\displaystyle \frac{\sigma_E}{\langle E\rangle}=\sqrt{\frac{2}{3N}}\n
\displaystyle \frac{\sigma_E}{\langle E\rangle}\Big|_{N=N_A}\approx 1{,}05\times10^{-12}

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