Considere um sistema isolado formado por N partículas clássicas não interagentes em equilíbrio, que podem ser encontradas em apenas dois níveis não degenerados com energias 0 ou
. A energia total do sistema é
, quando
partículas ocupam o nível de energia nula e
partículas (
) ocupam o nível com energia
.
a) Mostre que o número de maneiras distintas de distribuir as partículas pelos níveis de energia é:
b) Calcule a entropia por partícula (
) em função da energia média por partícula (
)
c) Obtenha a expressão para a energia média por partícula em função da temperatura. Interprete fisicamente o que acontece nos limites de altas e baixas temperaturas.
d) Determine o calor específico a volume constante desse sistema em função da temperatura.
a) Mostre que o número de maneiras distintas de distribuir as partículas pelos níveis de energia é:
c) Obtenha a expressão para a energia média por partícula em função da temperatura. Interprete fisicamente o que acontece nos limites de altas e baixas temperaturas.
d) Determine o calor específico a volume constante desse sistema em função da temperatura.
Passo 1
O enunciado fornece um sistema isolado com
partículas clássicas não interagentes, cada partícula podendo ocupar somente dois níveis não degenerados com energias
e
(com
). Se
partículas estão no nível de energia
e
estão no nível de energia
, a energia total do sistema é
As perguntas são:
a) Mostrar que o número de microestados é
.
b) Calcular a entropia por partícula em função da energia média por partícula
.
c) Obter a energia média por partícula em função da temperatura
e interpretar os limites de altas e baixas temperaturas.
d) Determinar o calor específico a volume constante por partícula em função de
.
a) Mostrar que o número de microestados
b) Calcular a entropia por partícula
c) Obter a energia média por partícula
d) Determinar o calor específico a volume constante por partícula
Passo 2
Resposta da parte (a): contagem de microestados.
Explicação didática: temos partículas distinguíveis (partículas clássicas) e queremos escolher quais
ficam no nível
e quais
ficam no nível
. O número de maneiras de escolher quais
dentre
partículas ocupam o nível
é o coeficiente binomial
. Pela definição do coeficiente binomial,
Explicação didática: temos
Logo o número de microestados distintos é
como pedido. (Intuição: escolhendo quais partículas ocupam cada nível você já especifica completamente a microconfiguração.)
Passo 3
Parte (b): calcular a entropia por partícula
em função de
.
Primeiro relacionamos com
. Como
, dividindo por
obtemos a energia média por partícula
Primeiro relacionamos
Defina a fração ocupacional do nível excitado por
A entropia microcanônica é dada por
, onde
é a constante de Boltzmann. Assim
Para
grande usamos a aproximação de Stirling (ensino rápido sobre Stirling: para
grande,
). Aplicando Stirling a
,
e
:
Os termos lineares em
cancelam porque
. Portanto
Dividindo tudo por
e lembrando
,
, obtemos a entropia por partícula
:
Agora substituímos
para escrever
em função de
:
(Isto é uma entropia de mistura binária: mostra que a entropia depende apenas da fração de partículas no nível excitado.)
Passo 4
Parte (c): obter
usando a definição termodinâmica de temperatura.
Lembrete e justificativa: na abordagem microcanônica, a temperatura é definida por
Lembrete e justificativa: na abordagem microcanônica, a temperatura
Como
com
, temos
Portanto
. Vamos derivar
. Para facilitar, use
e escreva
. Diferenciando em relação a
:
Calcule
. Para
tem-se (mostrando passo a passo):
- derivada de
em relação a é com sinal adequado; - derivada de
é . Somando dá
Logo
com
. Reescrevendo:
Exponenciando e resolvendo para
:
Voltando a
, obtemos a expressão desejada:
Passo 5
Interpretação física dos limites de temperatura (parte de c):
- Limite de baixas temperaturas
: então e . Assim
Interpretação: praticamente todas as partículas estão no estado de energia
(estado fundamental), energia média por partícula tende a zero.
- Limite de altas temperaturas
: então e . Assim
Interpretação: em altas temperaturas as duas ocupações ficam igualmente prováveis (ocupação do nível excitado tende a
), então energia média por partícula tende a
. (Isto é o comportamento típico de um sistema de dois níveis: equipartição de probabilidade entre níveis em
.)
Passo 6
Parte (d): calcular o calor específico a volume constante por partícula
.
Começamos de com
. Derivamos
em relação a
usando a regra da cadeia:
Começamos de
Calcule cada termo:
Multiplicando,
Substituindo
de volta, uma forma conveniente é
Ambas as formas são equivalentes; a última destaca um fator
comum (útil para comparar com a escala térmica
).
Limites e comentário físico sobre
:
- Para
tem , o fator . Portanto : a capacidade térmica desaparece quando todas as partículas estão no estado fundamental. - Para
tem , então o prefator e , logo também. Há, portanto, um máximo do em temperatura intermediária — isto é o pico de Schottky típico de um sistema de dois níveis.
Resposta
a)
b)
c) . Limite
(todas as partículas no estado fundamental); limite
(ocupações iguais).
d) .
b)
c)
d)